Rezolvarea unui puzzle cunoscut de 25 de ani a însemnat distrugerea şi reconstruirea elementelor de bază ale teoriei numerelor. Acel rezultat ar putea duce la dezvăluirea şi a altor enigme. Mai multe detalii pe acestă temă, în continuare.
Adunarea şi înmulţirea numerelor întregi sunt printre primele lucruri pe care elevii le învaţă, dar o nouă dovadă matematică indică faptul că până şi cele mai strălucite minţi din lume au mult mai multe lucruri de aflat despre aceste concepte aparent simple.
Shinichi Mochizuki de la Universitatea Kyoto din Japonia a despicat cele mai de bază concepte matematice şi le-a reconstruit aşa cum nu au mai fost reconstruite niciodată până acum. Rezultatul a fost apariţia unei dovezi teribil de complicate pentru "conjectura ABC" cunoscută de zeci de ani şi un univers alternativ matematic care ar trebui să forţeze dezvăluirea multor altor enigme nerezolvate până în prezent.
Pentru început dovada lui Mochizuki oferă de asemenea o explicaţie alternativă pentru teorema lui Fermat ("x" la puterea "n" plus "y" la puterea "n" este diferit de "z" la puterea "n" unde "x", "y", "z" sunt numere întregi, iar "n" este mai mare de 2), unul dintre rezultatele cele mai faimoase din istoria matematicii, dar care nu a fost dovedită până în 1993.
Conjectura ABC începe cu ecuaţia cea mai de bază din algebră, adăugând două numere întregi sau complete pentru a obţine un alt al treilea: "a + b = c". Enunţată pentru prima oară în 1985 de către Joseph Oesterlé şi Masser David, ea impune constrângeri privind interacţiunile factorilor principali ai acestor numere, numerele prime fiind blocurile de construcţie indivizibile care pot fi multiplicate împreună pentru a produce toate numerele întregi.
Logica bârlogului
Putem lua spre exemplu 81 + 64 = 145 care se descompune în blocurile de construcţii principale 3 × 3 × 3 × 3 + 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 5 × 29. Simplificat conjectura afirmă că valoarea mare a numerelor prime mai mici de pe partea stângă a ecuaţiei este întotdeauna echilibrată de o cantitate mică de numere prime mai mari aflate pe parte dreaptă a ecuaţiei. Adunarea limitează înmulţirea şi vice-versa.
"Într-o anumită accepţiune conjectura ABC expune relaţia dintre adunare şi înmulţire", afirmă Jordan Ellenberg de la Universitatea din Wisconsin, Madison. "Să afli ceva cu adevărat nou despre aceste operaţii în acest moment este destul de surprinzător."
În ciuda faptului că la începutul acestui au început să se răspândească pe bloguri de matematică zvonuri ale existenţei dovezilor lui Mochizuki acesta a postat pe site-ul său abia săptămâna trecută o serie de documente în care detaliază ceea ce el numeşte "geometrie inter-universală", unul dintre acestea pretinzând că demonstrează conjectura ABC. Tocmai în aceste momente matematicienii încearcă să descifreze densitatea logicii documentului care se întinde pe 500 de pagini.
Până în prezent răspunsurile sunt prudente, dar afirmative. "Acest lucru va fi fabulos de interesant în cazul în care lucrurile vor merge strună. Experienţa sugerează că acest "dacă" este destul de mare," scria matematicianul Timothy Gowers de la Universitatea din Cambridge pe Google+.
Argumente diferite
"Va dura o vreme până ce oamenii vor avea o imagine clară despre ceea ce a realizat Mochizuki", a declarat Ellenberg. "Analizând acest lucru ai un pic senzaţia că este posibil să ai în faţă un document care provine din viitor sau din spaţiu", a adăugat el pe blogul său.
Raţionamentul Mochizuki este străin chiar şi pentru alţi matematicieni, deoarece pune la îndoială probleme filozofice profunde legate de bazele matematicii, cum ar fi ceea ce vrem să spunem cu adevărat despre un număr, afirmă Minhyong Kim de la Universitatea din Oxford. Începutul secolului XX a fost marcat de apariţia unei crize în momentul în care matematicienii şi-au dat seama că de fapt nu aveau nici o modalitate formală de a defini un număr. Putem vorbi despre "trei mere" sau "trei pieţe", dar putem să numim "trei" obiectul matematic propriu-zis? Nimeni nu putea face această afirmaţie.
În cele din urmă numerele au fost redefinite sub formă de seturi, colecţii de obiecte riguros specificate şi matematicienii ştiu acum că adevărata esenţă a numărului zero este un set care nu conţine niciun obiect, setul gol, în timp ce numărul unu este un set care conţine un set gol. În continuare este posibil să se obţină restul numerelor întregi.
Dar acesta nu a fost sfârşitul poveştii, afirmă Kim. "Oamenii sunt conştienţi de faptul este posibil ca multe construcţii matematice naturale într-adevăr să nu se încadreze în universul de seturi."
Teribila deformare
Mai degrabă decât să folosească seturi Mochizuki şi-a dat seama cum să traducă ideile matematice fundamentale în obiecte care există numai în universuri noi, conceptuale. Acest lucru i-a permis să "deformeze" numere întregi de bază şi să forţeze până la limită relaţiile înnăscute dintre acestea cum ar fi înmulţirea şi adunarea. "El dezmembrează literalmente obiecte convenţionale în moduri teribile şi le transformă în universuri noi", afirmă Kim.
Aceste noi perspective l-au condus la dovedirea conjecturii ABC. "Cum anume reuşeşte să se întoarcă la universul obişnuit într-un mod care produce consecinţe concrete asupra teoriei numerelor, încă nu am nici o idee", afirmă Kim.
Datorită caracterului său deosebit de important o dovadă verificată a conjecturii ABC ar determina apariţia unei reacţii în lanţ ducând la soluţionarea instantanee a unor numeroase alte probleme existente la ora actuală şi la aprofundarea capacităţii noastre de a înţelege relaţiile dintre întregi, fracţii, zecimale şi chiar mai mult.
Numerele prime şi nu numai
Ellenberg compară dovedirea conjecturii ABC cu descoperirea bosonului Higgs, o particulă care, fizicienii speră, va dezvălui o cale spre noi descoperiri în fizică. Dar în timp ce bosonul Higgs a ieşit la iveală cu ajutorul unor resturi de particule de la o maşină care a fost concepută special pentru a-l găsi, metodele lui Mochizuki reprezintă ceva cu totul neaşteptat, oferind noi instrumente pentru explorare matematică.
Viitorul megastar
Verificarea existenţei unei dovezi în sine va fi un efort considerabil deoarece matematicienii trebuie să studieze munca lui Mochizuki pas cu pas pentru a verifica faptul că logica fiecărui pas este validă. Ellenberg estimează că procesul prin care se va putea obţine dovezi va dura cel puţin un an, deşi orice erori posibile pot fi descoperite mai devreme.
Crank a pretins în repetate rânduri că va rezolva probleme existente în matematică de foarte mult timp prin intermediul metodelor ezoterice, dar Mochizuki este cunoscut pentru seriozitatea muncii sale. "El are un palmares grozav," afirmă Andrew Granville de la Universitatea din Montreal, Canada. Kim este de acord: "Acest lucru face ca matematicienii buni să ia foarte în serios afirmaţiile sale, în ciuda caracterului neobişnuit al mecanismelor pe care le-a dezvoltat."
O dovadă verificată a conjecturii ABC ar transforma atât cariera lui Mochizuki, cât şi matematica fundamentală pe care a studiat-o decade întregi. "Părerea mea este că el va deveni un megastar", a scris Gowers pe Google+. "Dacă metoda lui Mochizuki va fi considerată acceptabilă de către comunitatea matematicii, probabil va determina o modalitate cu totul nouă de gândire în ceea ce priveşte numerele", afirmă Kim.
Ultima teoremă a lui Fermat simplificată
"Conjectura abc” propusă în 1985 studiază relaţia între trei numere întregi pozitive (a, b şi c) care sunt prime între ele: a + b = c. Această ecuaţie de bază stă la baza grozavei conjecturi ABC care în prezent este parţial rezolvată (a se vedea relatarea principală de mai sus) şi realizează conexiunea dintre ipoteză şi multe alte probleme matematice, inclusiv teorema lui Fermat.
În secolul al 17-lea Pierre de Fermat a declarat că nu au existat soluţii posibile pentru ecuaţia aferentă, an + bn = cn, atunci când n este 3 sau are o valoare mai mare. Exasperant însă este faptul că el nu a oferit o dovadă scrisă. Abia în 1993 Wiles Andrew a găsit una cu ajutorul matematicii moderne, un lucru pe care Fermat nu ar fi putut să îl cunoască. Deşi mulţi se îndoiesc că Fermat a avut chiar şi o dovadă credibilă care să îi susţină declaraţia, conjectura ABC care nu a fost în mod oficial postulată până în 1985 oferă o rută alternativă la teoremă şi ar putea ajuta la iluminarea modalităţii de gândire a lui Fermat.
Cele două puzzle-uri sunt legate pentru că în cazul în care conjectura ABC se dovedeşte a fi adevărată acest lucru implică faptul că nu există soluţii pentru ecuaţia bn + = cn, în cazul în care n este suficient de mare. Asta nu rezolva teorema lui Fermat pur şi simplu, dar scurtează foarte mult sarcina de a o soluţiona. Transformă problema verificării la infinit a fiecărui n, cu scopul de a demonstra veridicitatea teoremei lui Fermat într-o problemă finită. În funcţie de formularea exactă a conjecturii ABC, s-ar putea ca doar n = 3, 4 şi 5 să necesite verificare. "Teorema lui Fermat este atât de uşoară!" afirmă Andrew Granville, de la Universitatea din Montreal, Canada.
Se pare că nu există nici o posibilitate ca Fermat să fi dovedit conjectura ABC, dar probabil a presupus relaţiile pe care le implică aceasta, afirmă Minhyong Kim de la Universitatea din Oxford. Acest lucru l-ar fi putut determina să pretindă că teorema este a sa, chiar dacă el nu a dovedit de fapt acest lucru.
Alţii sunt nemulţumiţi datorită unei astfel de speculaţii referitoare la conjectura ABC şi Fermat. "Şansele să aibă de a face cu ceea ce Fermat a avut în minte sunt nule", afirmă Jordan Ellenberg de la Universitatea din Wisconsin-Madison.
Textul de mai sus reprezintă traducerea articolului fiendish-abc-proof-heralds-new-mathematical-universe, publicat de New Scientist. Scientia.ro este singura entitate responsabilă pentru eventuale erori de traducere, Reed Business Information Ltd şi New Scientist neasumându-şi nicio responsabilitate în această privinţă.
Traducere: Ecaterina Pavel
