Lecţie de algebră: inegalităţile mediilor aritmetică, geometrică, pătratică şi armonică.
Inegalităţile mediilor
{tex}\small \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac {1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}} \le \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n} \le \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \le \sqrt {\frac {{a_1}^2 + {a_2}^2 + .. + {a_n}^2}{n}}{/tex}
În figura de mai sus avem, în ordine, media armonică, media geometrică, media aritmetică şi media pătratică a n numere reale strict mai mari decât zero.
Dacă exemplificăm pe două numere a şi b, unde a este mai mic decât b, aceste inegalităţi arată astfel:
{tex}a \le \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac {1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt {\frac {a^2 + b^2}{2}} \le b{/tex}
Egalitatea apare atunci când a=b.
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
Într-un articol recent am făcut o introducere a funcţiilor trigonometrice. Să vedem acum reprezentarea lor grafică şi explicaţiile de rigoare.
Introducere
Eşti la şcoală şi vrei să ai pe internet, în limba română, un referat de matematică cu o serie de tabele cu cele mai utile formule de matematică şi fizică? Echipa Scientia.ro face posibil acest lucru. Continuăm lecţiile de trigonometrie cu prezentarea graficelor funcţiilor sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.
- Detalii
- Scris de: Mihai Bărbulescu
Definiţia logaritmului
Fie {tex}a\in (0,\infty)-\{1\}{/tex} şi {tex}$b\in(0,\infty)${/tex}, două numere reale. Se numeşte logaritm al numărului real strict pozitiv {tex}$b${/tex} exponentul la care trebuie ridicat numărul {tex}$a${/tex}, denumit bază, pentru a obţine numărul {tex}$b${/tex}.
Notaţiile logaritmilor
Logaritmul numărului {tex}$b${/tex} în baza {tex}$a${/tex} se notează: {tex}$\log_a b${/tex}. Cu această notaţie şi cu definiţia de mai sus devine clar că {tex}$\displaystyle b=a^{\log_a b}${/tex}.
Funcţia logaritm şi graficul acesteia
Funcţia logaritm este, cu alte cuvinte, inversa funcţiei exponenţiale. Vom considera funcţia bijectivă {tex}$ f: \mathbb{R} \rightarrow (0, \infty) , f(x) = a^x , a \epsilon (0, \infty) - \{1\}${/tex}, al cărei grafic îl puteţi vedea în figura de mai jos:
Acesta este graficul funcţiei exponenţiale. Observaţi că pentru o bază mai mare decât 1 are această figură. Observaţi că limita la minus infinit este 0, iar la plus infinit este chiar infinit.
Acesta este graficul funcţiei exponenţiale a cărei baza este mai mică decât 1. Este vorba de o funcţie strict descrescătoare, spre deosebire de cealaltă, care era o funcţie strict crescătoare. De data aceasta, la minus infinit, funcţia tinde să fie infinită, pe când la infinit valoarea sa tinde către 0.
credit: e-formule.ro
Cazuri particulare de logaritmi
Logaritmii in baza 10 se numesc logaritmi zecimali şi se notează {tex}$\log_{10} b${/tex} sau {tex}$\lg b${/tex}, iar cei în baza e se numesc logaritmi naturali sau neperieni (de la numele matematicianului scoţian Neper, sau Napier, care i-a descoperit), şi se notează {tex}$\ln_a b${/tex}.
Proprietăţile logaritmilor
01. {tex}$\displaystyle \log_a x = \log_a y \Rightarrow x=y${/tex}, dacă {tex}$\displaystyle x, y>0${/tex} (injectivitatea funcţiei logaritm).
02. {tex}$ \displaystyle \log_a a=1${/tex}
03. {tex}$ \displaystyle \log_a 1=0${/tex}
04. {tex}$ \displaystyle \log_a x + \log_a y=\log_a (xy) ${/tex}
05. {tex}$ \displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \left(\frac{x}{y}\right) ${/tex}
06. Fie {tex}$c\in \mathbb{R}$ {/tex}. Atunci {tex}$ \displaystyle \log_a x^c=c\cdot log_a x${/tex}
07. {tex}$ \displaystyle \log_a x\cdot \log_x a=1${/tex}
08. {tex}$ \displaystyle \log_a x=\frac{\log_y x}{\log_y a}${/tex}
09. {tex}$ \displaystyle a>1 , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x < 0 ${/tex}
10. {tex}$ \displaystyle a>1 , x>1 \Rightarrow \log_a x > 0 ${/tex}
11. {tex}$ \displaystyle a \in (0,1) , x \in (0,1) \Rightarrow \log_a x > 0 ${/tex}
12. {tex}$ \displaystyle a \in (0,1) , x>1 \Rightarrow \log_a x < 0 ${/tex}
13. Dacă {tex}$ \displaystyle a>1${/tex} funcţia {tex}$ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x${/tex} este strict crescătoare, adică pentru {tex}$ \displaystyle x>y${/tex}, avem {tex}$ \displaystyle \log_a x>\log_a y${/tex}
14. Dacă {tex}$ \displaystyle a \in (0,1) ${/tex} funcţia {tex}$ \displaystyle f_a:\mathbb{R}^{+}-\{0\}} \rightarrow \mathbb{R}^{+}-\{0\}}, f_a (x)=\log_a x${/tex} este strict descrescătoare, adică pentru {tex}$ \displaystyle x>y${/tex}, avem {tex}$ \displaystyle \log_a x<\log_a y${/tex}
15. Fie {tex}$ \displaystyle c\in\mathbb{R}-\{0\}$ {/tex}. Atunci {tex}$ \displaystyle \log_{a^c} x=\frac{1}{c} \log_a x${/tex}
16. Fie {tex}$ \displaystyle x\in\mathbb{R}, a>0, a\not=1${/tex}. Atunci {tex}$ \displaystyle a^x=e^{x \ln a}$ \displaystyle {/tex}.
Pentru fiecare dintre proprietăţile unde nu sunt puse condiţii pentru {tex}$ \displaystyle a, x, y ${/tex} , se subînţeleg condiţiile din definiţie.
- Detalii
- Scris de: Laurenţiu Tuca
Zenon a fost un filozof grec presocratic, din sudul Italiei, membru al şcolii filozofice din Elea, întemeiată de Parmenide. Vă prezentăm în acest articol trei din cele mai cunoscute patru paradoxuri ale lui Zenon, unele dintre cele mai faimoase, mai durabile, mai şocante şi mai interesante paradoxuri, formulate de filozoful eleat în anul 450 î.Hr.
Filozoful grec Zenon, discipol al lui Parmenide, a trăit în secolul al cincilea î. Hr. şi ne-a lăsat moştenire câteva paradoxuri profunde a căror rezolvare ne invită să medităm asupra noţiunilor de infinit şi de mişcare. A fost numit de Aristotel fondatorul dialecticii (formă veche de găsire a adevărului, cunoscută şi drept arta interlocuţiunii).
- Detalii
- Scris de: Mihai Bărbulescu
În continuare, lista derivatelor pentru funcţiile uzuale.
Credit: http://www.hypercyber.it
Derivata unei funcţii este o noţiune matematică ce a fost descoperită în jurul anului 1665 de Isaac Newton. Aceasta i-a permis să definească matematic noţiunea de viteză instantanee ca şi derivata faţă de timp a poziţiei în spaţiu în funcţie de timp, iar acceleraţia instantanee ca şi derivata în funcţie de timp a vitezei ca şi funcţie de timp.
Tabel cu derivate uzuale
{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle a $ & $\displaystyle 0 $\\
$\displaystyle a x $ & $\displaystyle a $\\
$\displaystyle \frac{1}{x} $ & $\displaystyle -\frac{1}{x^2} $\\
$\displaystyle \sqrt{x} $ & $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{x}} $\\
$\displaystyle a x^n $ & $\displaystyle a n x^{n-1} $\\
$\displaystyle \sin x $ & $\displaystyle \cos x $\\
$\displaystyle \cos x $ & $\displaystyle - \sin x $\\
$\displaystyle \tan x $ & $\displaystyle \! \frac{1}{\cos^2 x} \, \! \rm{sau} \, 1+\tan^2 x $\\
$\displaystyle \cot x$ & $\displaystyle \! -\frac{1}{\sin^2 x} \, \! \rm{sau} \, -1-\cot^2 x $\\
\end{tabular}
{/tex}
{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \arcsin x $ & $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\
$\displaystyle \arccos x $ & $\displaystyle - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\
$\displaystyle \arctan x $ & $\displaystyle \frac{1}{1+x^2} $\\
$\displaystyle a^x $ & $\displaystyle a^x \ln a $\\
$\displaystyle \ln \mid x\mid $ & $\displaystyle \frac{1}{x} $\\
$\displaystyle e^x $ & $\displaystyle e^x $\\
\end{tabular}
{/tex}
Găsiţi în acest tabel: derivata funcţiei putere, derivata funcţiei exponenţiale, derivata funcţiei sinus, derivata funcţiei cosinus, derivata funcţiei tangentă, derivata funcţiei cotangentă, derivata funcţiei arcsin, derivata funcţiei arccos, derivat funcţiei arctan, derivata funcţiei logaritm, precum şi a altor funcţii uzuale. Acestea ţin de capitolul din matematică denumit analiză matematică.
- Detalii
- Scris de: Adrian Bulat
În acest articol, câte ceva despre noţiunea de derivată şi regulile de derivare:
Credit: http://www.batmath.it
Derivata unei funcţii este o noţiune matematică ce a fost descoperită în jurul anului 1665 de către Isaac Newton. Metoda aceasta i-a permis să definească matematic noţiunea de viteză instantanee ca derivata în funcţie de timp a poziţiei în spaţiu în funcţie de timp, iar acceleraţia instantanee ca şi derivata în funcţie de timp a vitezei ca şi funcţie de timp. Nu toate funcţiile admit însă derivată, de pildă ele neavând derivată în punctele de discontinuitate, de întoarcere sau cele în care au o tangentă verticală.
Reguli de derivare
{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \rm{Nume} $ & $\displaystyle \rm{Regula} $\\
$\displaystyle \rm{Liniara} $ & $\displaystyle ( af)^ \prime \! = a f^ \prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Liniara} $ & $\displaystyle ( f + g)^ \prime \! = f^ \prime + g^\prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Liniara} $ & $\displaystyle ( f - g)^ \prime \! = f^ \prime - g^\prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Produs} $ & $\displaystyle ( f g )^ \prime \! = f^ \prime g + g^\prime f \! $\\
$\displaystyle \rm{Inversa} $ & $\displaystyle (\frac{1}{ f})^\prime = \frac{-f ^ \prime}{ f^2} $\\
$\displaystyle \rm{Coeficient} $ & $\displaystyle (\frac{f}{ g})^\prime = \frac{f ^ \prime g - f g^ \prime}{ g^2} $\\
$\displaystyle \rm{Compusa} $ & $\displaystyle ( g \circ f )^ \prime \! = (g^\prime \circ f )f^\prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Reciproca} $ & $\displaystyle ( f ^{-1})^ \prime \! = \frac{1}{ f^\prime \circ f^{-1} } \! $\\
\end{tabular}
{/tex}
şi în particular regulile deduse pentru derivatele funcţiei compuse:
{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \rm{Putere}$ & $\displaystyle ( f ^ a)^ \prime \! =a f^{a - 1}f ^ \prime \! $\\
$\displaystyle \rm{Radical} $ & $\displaystyle (\sqrt{ f })^ \prime \! = \frac{f^\prime}{ 2 \sqrt {f} } \! $\\
$\displaystyle \rm{Exponentiala} $ & $\displaystyle (e^f )^ \prime \! = e^f f^ \prime $\\
$\displaystyle \rm{Logaritmica} $ & $\displaystyle (\log_{b} f)^ \prime = \frac{f^\prime}{ f \ln{b} } $\\
$\displaystyle \rm{Logaritmica} $ & $\displaystyle (\ln{f})^ \prime = \frac{f^\prime}{ f } $\\
\end{tabular}
{/tex}
În tabelul de mai sus găsiţi cele mai frecvente reguli utilizate la calcularea derivatelor. Pentru funcţiile care sunt exprimate ca o combinaţie liniară a funcţiilor simple, cum ar fi produs, cât sau compuse, folosim de asemenea un număr mic de reguli algebrice ce rezultă din definiţiile de mai sus. Acestea ţin de ramura matematicii numită analiză matematică.
- Detalii
- Scris de: Adrian Bulat
În acest articol puteţi găsi lista primitivelor pentru câteva funcţii uzuale.
Credit: Wikimedia Commons
Tabel cu integrale uzuale
{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
\displaystyle \int \! x^n \, dx & \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\\
\displaystyle \int \! a^x \, dx & \displaystyle \frac{a^x}{\ln a}+ C\\
\displaystyle \int \! \frac{1}{x} \, dx & \displaystyle \ln \mid x \mid + C\\
\displaystyle \int \! \frac{1}{x^2-a^2} \, dx & \displaystyle \frac{1}{2a} \ln \mid \frac{x-a}{x+a}\mid + C\\
\displaystyle \int \! \frac{1}{x^2+a^2} \, dx & \displaystyle \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C \\
\displaystyle \int \! \sin x \, dx & \displaystyle - \cos x+ C\\
\displaystyle \int \! \cos x \, dx & \displaystyle \sin x + C \\
\displaystyle \int \! \frac{1}{\cos^2 x} \, dx & \displaystyle \tan x + C \\
\displaystyle \int \! \frac{1}{\sin^2 x} \, dx & \displaystyle - \cot x + C \\
\end{tabular}
{/tex}
{tex}
\begin{tabular}{|l|l|}
$\displaystyle \int \! \tan x \, dx$ & $\displaystyle - \ln \mid\cos x\mid + C $\\
$\displaystyle \int \! \cot x \, dx$ & $\displaystyle \ln \mid \sin x\mid + C $\\
$\displaystyle \int \! \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \, dx$ & $\displaystyle \ln (x+\sqrt{x^2+a^2}) + C $\\
$\displaystyle \int \! \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \, dx$ & $\displaystyle \ln (x+\sqrt{x^2-a^2}) + C $\\
$\displaystyle \int \! \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx$ & $\displaystyle \arcsin \frac{x}{a} + C $\\
\end{tabular}
{/tex}
Găsiţi în tabelele de mai sus primitivele pentru funcţia putere, funcţia exponenţială, funcţia 1/x, funcţia sinus, funcţia cosinus, funcţia tangentă, funcţia cotangentă, precum şi pentru alte funcţii uzuale.
Diferenţa între integrală nedefinită şi primitivă
Diferenţa între cele două noţiuni ar putea fi rezumată astfel:
Fie f:I->R(I interval din R), o funcţie care admite primitive.
Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f.
Cf. Wikipedia, unii autori definesc integrala nedefinită a unei funcţii ca fiind mulţimea tuturor primitivelor posibile ale acesteia (varianta de mai sus). Alţii o definesc ca fiind un element ales arbitrar din acea mulţime.
- Detalii
- Scris de: Adrian Buzatu
Eşti la şcoală şi vrei să ai pe internet, în limba română, o serie de tabele cu cele mai utile formule de matematică şi fizica? În acest articol vorbim despre formule de matematică necesare la liceu şi poate chiar la gimnaziu: funcţiile trigonometrice. Adică sinus, cosinus, tangentă, cotangentă şi relaţiile dintre ele.
Credit: Wikipedia.
Definiţii ale funcţiilor trigonometrice
Definiţia sinusului asociat unui unghi: raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului respectiv şi lungimea ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic.
Definiţia cosinusului asociat unui unghi: raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului respectiv şi lungimea ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic .
Definiţia tangentei asociate unui unghi: raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului respectiv şi lungimea catetei alăturate dintr-un triunghi dreptunghic.
Definiţia cotangentei asociate unui unghi: raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului respectiv şi lungimea catetei opuse dintr-un triunghi dreptunghic.
Relaţia de bază dintre sinus şi cosinus
Formula tangentei în funcţie de sinus şi cosinus
Formula cotangentei în funcţie de sinus şi cosinus
Tabel ale valorilor unghiurilor de bază în grade şi în radiani
Aceste valori le puteţi găsi reprezentate şi pe acest cerc trigonometric, dar nu numai pentru valorile de la 0 la 90 de grade, precum mai sus în tabel, ci de la 0 la 360 de grade.
Valorile sinusului şi cosinusului pe cercul trigonometric.
Credit imagine: Wikipedia
- Detalii
- Scris de: Adrian Buzatu
Există o metodă foarte simplă pe care o puteţi folosi pentru a ridica la pătrat numere mari, care au 5 la final. Să luăm următorul exemplu: 852. Rezultatul este 7225 şi poate fi calculat în câteva secunde, fără nicio bătaie de cap. Cum? Iată metoda:
Ultimele două cifre ale rezultatului vor fi mereu 2 şi 5. Deci orice înmulţire de genul a5xb5 va avea ultimele două cifre 25.
Primele două cifre rezultă din înmulţirea dintre prima cifră (8) şi cifra cu unu mai mare (9), deci 8x9=72.
Iată câteva exemple:
652 = 4225.
După cum am stabilit, 25 rezultă din înmulţirea 5x5 şi este mereu prezent la finalul înmulţirilor numerelor cu 5 la final. 42 rezultă din înmulţirea dintre primul număr (6) şi numărul mai mare cu unu decât acesta (7): 6x7=42.
952 = 9025.
5x5=25, iar 9x10=90.
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
În fapt este vorba despre un truc ce ajută la efectuarea înmulţirilor, atunci când se cunoaşte înmulţirea până la 5x5. Odată cunoscută prima parte a tablei înmulţirii, calculele mai grele pot fi rezolvate uşor prin trucul detaliat aici.
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
Să spunem că trebuie să adunaţi rapid, în minte, mai multe numere consecutive, de pildă 5 + 6 + 7 + 8. Această adunare poate fi făcută după metoda clasică, adunând primul număr cu al doilea, rezultatul cu al treilea ş.a.m.d. Dar ce facem în cazul seriilor mai lungi?
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
Regulile de mai jos nu sunt, desigur, pentru adulţi, ci pentru elevii din clasa întâi, în cazul adunării şi din clasa a II-a, în cazul înmulţirii. Pentru aceştia, credem, regulile de mai jos se pot constitui în instrumente utile pe care le pot folosi în rezolvarea rapidă a adunării şi a înmulţirii cu 9.
Desigur, am scris acest articol pentru părinţii care, citind aceste reguli, pot veni în ajutorul copiilor lor prin explicarea acestor modalităţi de a face rapid calcule.
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
Deşi înmulţirea în minte a unui număr oarecare format din două cifre cu 11 nu este chiar o sarcină dificilă, există o metodă foarte rapidă pentru a face acest lucru. Pentru ca înmulţirea rapidă să dea rezultate corecte, este nevoie ca numărul pe care-l înmulţiţi cu 11 să fie format din două cifre.
Deşi înmulţirea în minte a unui număr oarecare format din două cifre cu 11 nu este chiar o sarcină dificilă, există o metodă foarte rapidă pentru a face acest lucru. Pentru ca înmulţirea rapidă să dea rezultate corecte, este nevoie ca numărul pe care-l înmulţiţi cu 11 să fie format din două cifre.
Să luăm un exemplu: 63*11.
Regula este următoarea: se adună cele două cifre ce formează numărul (în cazul nostru, 6+3=9), se aşază acest număr între cele două cifre ale numărului, adică între 6 şi 3 (vom avea 693) şi astfel am aflat rezultatul înmulţirii!
Alt exemplu: 54*11=5(5+4)4=594
Dar ce facem în cazul în care suma celor două cifre este mai mare decât 9? În acest caz adăugăm 1 la cifra din stânga a numărului, astfel:
67*11=6!(6+7)7=6!(13)7=737
+++ matematica distractivă +++ matematica distractivă +++ matematica distractivă ++
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
Iată un truc cu ajutorul căruia, folosind matematica, vă veţi putea impresiona prietenii cu abilităţile dumneavoastră de ghicitor. Înainte să explicăm trucul, să-l experimentăm împreună. Aşadar:
- Detalii
- Scris de: Iosif A.
Calculul factorial... De acord, este o chestiune simplă pe care mulţi elevi o stăpânesc pentru că o folosesc la şcoală. Dar scopul acestui articol nu este să creeze matematicieni, ci doar să reamintească celor care au uitat ce este factorialul, cum se calculează şi la ce foloseşte.
- Detalii
- Scris de: Iosif A.