Despre acest aparent „paradox” s-au scris mai multe articole în limba română, dar niciunul care să explice exact cum stau lucrurile (cel puțin eu nu am găsit). Așa că am decis să scriu acest articol, care, întâi, să mă lămurească pe mine 😀, apoi, sper, și pe cititori.
Așadar, matematica ne spune că dacă avem 23 de persoane într-o cameră, selectate la întâmplare, probabilitatea ca două dintre acestea să aibă ziua de naștere în aceeași zi este 51%. La prima vedere e greu de văzut de ce ar sta așa lucrurile, așa că să explicăm pas cu pas.
Probabilitatea ca altă persoană din grup să aibă aceeași zi de naștere ca tine e mică
Primul gând este: dacă sunt 365 de zile într-un an, asta înseamnă că există o probabilitate de 1/365 ca altcineva din cameră să aibă aceeași zi de naștere ca tine. Așadar, există o probabilitate mare, de 364/365, ca orice altă persoană din cameră să nu aibă aceeași zi de naștere cu tine.
Luând în calcul întregul grup (n-1, adică 22 de persoane, fără a te include pe tine), rezultă că probabilitatea ca altă persoană din grup să aibă o zi de naștere diferită de tine este:
364/365 × 364/365 × 364/365 × 364/365 … × 364/365, înmulțirea având loc de 22 de ori (n-1, adică 23-1).
Ajungem la o valoare de 0,94, care reprezintă probabilitatea ca nicio persoană din grup să nu aibă aceeași zi de naștere cu tine. Deci este foarte puțin probabil (1-0,94=0,06) ca cineva din grup să aibă aceeași zi de naștere cu tine.
Și atunci?
Probabilitatea ca orice două persoane să aibă aceeași zi de naștere e de 51%
Calculele de mai sus sunt corecte, dar nu abordează problema în mod corect, pentru că ce trebuie să calculăm este probabilitatea ca oricare două persoane din grup să aibă aceeași zi de naștere.
În cameră sunt nu mai puțin de 253 de perechi de persoane posibile (nx(n-1)/2, unde n este 23, rezultând 23×(23-1)/2 = 253), pentru că tu faci câte o pereche cu fiecare dintre celelalte 22 de persoane, care, la rândul lor, formează perechi cu celelalte persoane.
Care este probabilitatea ca niciuna dintre cele 23 de persoane să nu aibă aceeași zi de naștere?
Așadar, luăm în calcul orice pereche posibilă, nu doar perechile din care tu faci parte.
Pentru orice persoană (luând în calcul cele 253 de perechi), probabilitatea ca a doua persoană să nu aibă aceeași zi de naștere este de 364/365.
Mai departe, probabilitatea ca ziua de naștere a celor două persoane să fie diferite, iar și o a treia persoană să aibă ziua de naștere diferită de primele două este de 364/365 × 363/365.
Mai departe, probabilitatea ca a patra persoană să aibă ziua de naștere diferită de celelalte trei este de 364/365 × 363/365 × 362/365.
Continuând raționamentul (și calculele), ajungem la probabilitatea ca niciuna dintre cele 23 de persoană să nu aibă aceeași zi de naștere să fie descrisă de calculul: 364/365 × 363/365 × 362/365 × 361/365 … × 343/365, care are ca rezultat 0,49, adică o probabilitate de 49%. Ceea ce înseamnă că probabilitatea ca cel puțin două persoane să aibă aceeași zi de naștere să fie de 51%.
Odată cu creșterea numărului de persoane din grup, crește și probabilitatea, astfel:
• la 30 de persoane, probabilitatea este de 70,6%
• la 40, 89,1%
• la 50, 97,0%
• la 60, 99,4%
• la 70, 99,9%
• la 75, 99,97%
Contraintuitiv, dar nu te joci cu matematica 😀
Sursa: Cartea The improbability principle, de David J. Hand (cap. 5, The law of truly large numbers)
