Scientia

În acest episod al cărţii lui David Peat vorbim despre teorema lui Gödel. Un tânăr de doar 25 de ani dă lovitura de graţie speranţelor de completitudine şi consistenţă privind matematica; dar şi certitudinii, care îşi găsise ultimul bârlog în  sfera matematicii.

De la certitudine la incertitudine (18)

TEOREMA LUI GÖDEL

Matematicienii au rămas nelămuriţi dacă matematica a fost definitiv demonstrată ca fiind completă şi coerentă. În 1931 însă, o lucrare germană, "Despre propoziţiile indecidabile din Principia Mathematica şi ale sistemelor înrudite între ele ", a dat peste cap lumea matematicii şi a pus capăt proiectelor lui Hilbert, Russell şi Whitehead. Autorul acestei lucrări, un tânăr matematician din Viena, Kurt Gödel, în vârstă de 25 de ani. Acesta a arătat o dată pentru totdeauna limitările consistenţei interne a metodei axiomatice, consacrate din timpul lui Euclid. Mai precis, dacă un sistem axiomatic este suficient de bogat pentru a produce ceva ca matematica, atunci acesta nu va putea fi niciodată demonstrat ca fiind consistent. Mai mult, un asemenea sistem va fi mereu incomplet.

Demonstraţia lui Gödel a fost extrem de ingenioasă. De la început, el a fost hotărât să evite diferenţa dintre matematică şi ceea ce este cunoscut drept metamatematică. În proiectul lui Hilbert, obiectivul era să demonstreze, cu ajutorul logicii simbolice, că matematica este solidă şi completă. Dar aceasta însemna că matematica era discutată şi analizată folosind un alt sistem simbolic. Sistemul care vorbea despre matematică şi făcea enunţuri despre matematică nu era, în sine, matematică, ci metamatematică, un sistem din afara matematicii care era folosit pentru a descrie matematica.

Ideea de geniu a lui Gödel a fost aceea de a descoperi o cale de a rămâne în interiorul matematicii prin crearea unui sistem simbolic (în interiorul matematicii) care să se refere la sine însuşi şi, de aceea, capabil să facă enunţuri despre sine - în aşa fel încât să demonstreze (ori să eşueze să demonstreze) propria consistenţă.

Detaliile demonstraţiei lui Gödel depăşesc intenţiile acestei cărţi, dar câteva idei sunt strecurate în Apendicele acestei cărţi. În esenţă, Gödel a început prin a da fiecărui simbol un număr. Desigur, numerele sunt din interiorul matematicii, deci nu sunt metamatematică. Combinând numerele într-un mod special, Gödel a arătat că fiecărei linii scrise pentru efectuarea unei demonstraţii i se poate asocia, la rândul ei, un număr unic. Fiecare enunţ matematic este definit de propriul său număr. O persoană căreia i se dă numărul corespunzător, poate "despacheta" şi scrie fără probleme enunţul căruia îi corespunde acel număr.

Mai departe, fiecărei teoreme (cu tot ce conţine ea) i se alocă un număr unic de identificare. Mai mult, o afirmaţie despre matematică, o metaafirmaţie deci, are, de asemenea, un număr; fiind un număr, este în acelaşi timp şi parte din aritmetică. Gödel a reuşit să aloce numere pentru afirmaţii ca "această afirmaţie adevărată nu este demonstrabilă" ori "această afirmaţie este adevărată" şi "negaţia acestei afirmaţii este adevărată". În acest fel el a fost capabil să arate că numere perfect valide în aritmetică pot corespunde unor afirmaţii ca "această afirmaţie adevărată nu este demonstrabilă". Astfel Gödel a reuşit să demonstreze că există afirmaţii adevărate care nu pot fi demonstrate; cu alte cuvinte, MATEMATICA ESTE INCOMPLETĂ.

Mai mult, existe numere în sistemul său, adică afirmaţii adevărate, care corespund cu "această afirmaţie este adevărată" şi cu "negaţia acestei afirmaţii este adevărată". Aceasta înseamnă că inconsistenţe există, de asemenea, în interiorul matematicii.

Gödel a arătat că matematica este şi incompletă şi inconsistentă. Matematica trebuie să fie incompletă pentru că vor exista mereu adevăruri matematice care nu vor putea fi demonstrate. Adevărurile există în matematică, dar nu rezultă necesarmente din orice axiomă ori teoremă. Matematica este inconsistentă pentru că e posibil pentru o afirmaţie şi pentru negaţia acesteia să existe simultan în interiorul aceluiaşi sistem.

Rezultatul lui Kurt Gödel a şocat lumea matematicii. Demonstraţia sa apare ca fiind de necombătut. Ultimul refugiu al certitudinii fusese matematica, iar acum Gödel tocmai dăduse un brânci ultimului ei stâlp de rezistenţă. Şi, aşa cum s-a întâmplat şi cu principiul incertitudinii al lui Heisenberg, matematicienii şi filozofii au continuat să se întrebe despre semnificaţiile mai adânci ale teoremei lui Gödel. Cum putea fi ea interpretată? Care sunt implicaţiile acesteia?

Pentru a da un exemplu, ce înseamnă de fapt că există afirmaţii matematice adevărate care nu pot fi demonstrate? Cum arată asemenea adevăruri? Cum recunoaştem unul dacă ne iese în cale?

De la certitudine la incertitudine (20)

Traducerea este făcută cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.