Scientia

Cartea lui David Peat continuă cu un scurt capitol dedicat adevărurilor nedemonstrabile. Dacă vom încorpora asemenea conjecturi în aparatul axiomatic al matematicii, ne vom putea oare bucura de consistenţă şi completitudine în matematică?

De la certitudine la incertitudine (19)

ADEVĂRURI NEDEMONSTRABILE

Un exemplu de afirmaţie matematică nedemonstrabilă poate fi conjectura lui Goldbach. Aceasta afirmă că "Orice număr întreg par mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de două numere prime" (Un număr prim este un număr care se poate divide doar cu 1 şi cu sine însuşi). Cu siguranţă că această regulă funcţionează în practică, aşa cum se poate vedea în exemplul de mai jos:

20 = 17 + 3
10 = 7 + 3
8 = 7 +1

Niciun matematician nu a găsit vreodată vreo excepţie la această conjectură, deşi a fost testată pe computer. Desigur, nu a fost testată pentru toate numerele existente, pentru că există o infinitate de numere. Matematicienii sunt destul de siguri că această conjectură a lui Goldbach este adevărată, dar niciunul nu a fost în stare să o dovedească. Este acesta tipul de adevăr nedemonstrabil la care se referea Gödel? Va veni o zi în care, aşa cum s-a întâmplat şi cu teorema lui Fermat, un matematician ingenios va găsi o demonstraţie?

Să presupunem că această conjectură reprezintă un adevăr fundamental despre numere, un adevăr care niciodată nu va putea fi dovedit. De ce să n-o declarăm ca una dintre axiomele fundamentale ale matematicii? Tot ce trebuie să facem este să creştem numărul axiomelor aritmeticii cu unul şi să începem un nou joc. Ar reprezenta acest lucru o victorie în faţa limitelor proclamate de teorema lui Gödel? Nu, deoarece teorema lui Gödel stabileşte faptul că odată adăugată o nouă axiomă, vor apărea alte adevăruri nedemonstrabile. Oricum am aborda problema, nu există nicio modalitate de a evita demonstraţia lui Gödel conform căreia matematica este un aparat intrinsec incomplet.

Semnificaţia rezultatului obţinut de Gödel este încă subiect de dezbatere. Pentru unii reprezintă o problemă majoră, un eşec în încercarea de a stabili că putem avea încredere totală în logică şi matematică. Alţii o privesc într-o lumină mai bună. Până una alta, marele proiect al lui Hilbert a constat în reducerea edificiului matematicii la manipularea unor simboluri care ar putea, în principiu, să fie efectuată de către un computer. O demonstraţie matematică, afirma Hilbert, poate fi realizată cu ajutorul unei serii de algoritmi, iar asemenea paşi ar putea fi automatizaţi. Dar acum Gödel ne spune că o asemenea abordare prezintă nişte limitări şi nu poate fi aplicată matematicii în ansamblu. Există lucruri pe care matematicienii le fac şi care nu vor putea fi niciodată realizate de către calculatoare.

Limitele algoritmilor (21)

Traducerea este făcută cu acordul autorului şi este protejată de legea drepturilor de autor.