Scientia

Putem folosi matematica pentru studiul complexităţii? Ce reprezintă teoria haosului? Ce sunt sistemele liniare? Dar cele neliniare? Ce deosebiri există între sistemele haotice şi cele complexe? Pentru lămuriri privind aceste aspecte, citiţi acest articol.

Sistemele complexe-scurtă introducere (1)

APARATUL MATEMATIC AL SISTEMELOR COMPLEXE

După cum spuneam în articolul anterior, una din sursele principale ale teoriei complexităţilor o reprezintă teoria haosului. În matematică, studiul haosului începe de la problema celor n-corpuri. Aceasta se referă la predicţia mişcării unui grup de obiecte care interacţionează între ele gravitaţional. Rezolvarea acestei probleme a fost motivată de nevoia înţelegerii mişcării Soarelui, a planetelor şi a stelelor vizibile. Prima formulare a problemei apare în textele lui Newton, care trebuia să exprime interacţiunile gravitaţionale în termenii ecuaţiilor diferenţiale (întrucât gravitaţia era responsabilă de mişcarea corpurilor cereşti).

Problema poate fi formulată astfel: date fiind poziţiile şi vitezele prezente ale unui grup de obiecte cereşti, să se prezică toate mişcările viitoare şi să se deducă toate mişcările trecute ale acestora.

În mecanica clasică, problema celor două corpuri (o variantă simplă a problemei celor n-corpuri) presupune determinarea mişcării a două puncte materiale care interacţionează numai între ele. Exemple obişnuite includ mişcarea unui satelit ce orbitează în jurul unei planete, a unei planete ce orbitează în jurul unei stele sau a două stele ce orbitează una în jurul celeilalte.

Reprezentare a problemei celor două corpuri
Credit: wikimedia.org

Problema celor două corpuri poate fi reformulată sub forma a două probleme independente pentru un singur corp. Întrucât astfel de probleme cu un singur corp pot fi rezolvate exact, şi problema corespunzătoare celor două corpuri luate împreună poate fi rezolvată. De fapt, problema a fost rezolvată în întregime de către Johann Bernoulli. Dacă centrul de greutate comun celor două corpuri este considerat ca fiind în repaus, fiecare corp se deplasează de-a lungul unei secţiuni conice al cărei focar se află în centrul de greutate al sistemului. Cele două conuri vor fi în acelaşi plan, iar tipul conului (elipsă, parabolă sau hiperbolă) este determinat găsind suma energiilor cinetice şi potenţiale ale celor două corpuri atunci când se află la distanţă mare.

::: Dacă suma este negativă, atunci traiectoriile corpurilor descriu elipse.
::: Dacă suma este zero, atunci traiectoriile corpurilor descriu parabole.
::: Dacă suma este pozitivă, atunci traiectoriile corpurilor descriu hiperbole.

Însă pentru n>2 se cunosc foarte puţine lucruri. Cazul n=3 a fost cel mai studiat, iar multe rezultate pot fi generalizate pentru orice n. Important de menţionat este faptul că soluţiile specifice pentru problema celor 3 corpuri rezultă în mişcări haotice fără semne vizibile de modele repetitive.

Reprezentare a problemei celor 3 corpuri
Credit: wikimedia.org

Problema a fost îndelung studiată de Lagrange în secolul 18 şi de către Poincaré în secolul 19, iar contribuţiile lui Poincaré la rezolvarea acesteia au condus şi la fundamentarea teoriei deterministe a haosului.

TEORIA HAOSULUI

Teoria haosului reprezintă un domeniu de studiu în matematică, fizică, economie sau filosofie şi studiază comportamentul sistemelor dinamice care sunt foarte senzitive la condiţiile iniţiale. Altfel spus, comportamentul viitor al sistemului este în totalitate determinat de condiţiile iniţiale, însă mici diferenţe în aceste condiţii iniţiale vor determina diferenţe tot mai mari în comportamentul viitor.

Turbulenţa creată de aripile unui avion
este studiată după modelul comportamentului haotic
Credit: wikimedia.org

Comportamente haotice pot fi observate în multe sisteme naturale, precum starea vremii sau dinamica sateliţilor din sistemul solar, dar sunt studiate şi în laborator: circuite electrice, lasere, reacţii chimice, dinamica fluidelor, etc.

O caracteristică importantă a sistemelor haotice este legată de distincţia liniar/neliniar. Un sistem liniar este un model matematic  în care output-ul este direct proporţional cu input-ul (principiul superpoziţiei). Altfel spus, în sistemele liniare rămân valabile următoarele proprietăţi

1. f(x + y) = f(x) + f(y)

2. f(ax) = af(x)

Astfel, potrivit principiului superpoziţiei, dacă input-ul A (cauza) produce răspunsul X (efect) şi input-ul B produce răspunsul Y, atunci input-ul (A+B) produce răspunsul (X+Y). De regulă, sistemele liniare prezintă caracteristici şi proprietăţi mult mai simple decât cazul general, neliniar, şi sunt foarte des întâlnite în mecanica clasică. Dacă funcţiile liniare au forma f(x) = ax+b, un exemplu de funcţie neliniară ar fi de forma f(x) = ax³+bx²+c.

Exemple de grafice pentru funcţii liniare

Sistemele neliniare sunt acelea care nu satisfac principiul superpoziţiei, adică acelea în care output-ul nu este direct proporţional cu input-ul. Altfel spus, în sistemele neliniare, rezultatul produs de input-ul A+B nu poate fi descris ca o combinaţie a rezultatelor produse de input-urile A şi B luate separat. Problemele neliniare sunt studiate de ingineri, fizicieni şi matematicieni întrucât majoritatea fenomenelor fizice sunt de natură neliniară.

Exemplu de grafic pentru o funcţie neliniară

Legat de această distincţie găsim şi una dintre cele mai importante caracteristici ale sistemelor haotice, dată de teorema Poincaré-Bendixson. Potrivit acesteia, haosul apare doar în sisteme neliniare sau cu infinit de multe dimensiuni. Sistemele liniare cu număr finit de dimensiuni nu devin niciodată haotice.

SISTEMELE HAOTICE VERSUS SISTEMELE COMPLEXE

Această trecere „brută” de la sistemele liniare la cele neliniare poate fi văzută şi ca model pentru a înţelege trecerea de la sistemele haotice la cele complexe. Dacă sistemele haotice sunt considerate acele sisteme în care interacţiunile neliniare ale părţilor produc comportamente haotice ale întregului (complicate, dar reductibile la comportamentele părţilor: în problema celor 3 corpuri, atât comportamentul părţilor cât şi comportamentul întregului sunt explicate ca fenomene gravitaţionale), sistemele complexe sunt considerate acele sisteme de componente eterogene care prin interacţiunea lor neliniară dau naştere unor comportamente emergente (comportamente specifice întregului, nu părţilor componente: de exemplu, migraţia unui stol de păsări este rezultatul acţiunii unor păsări care respectă un set de reguli.

Nici una dintre păsări nu determină sau planifică migraţia în forma în care aceasta se realizează, migraţia fiind rezultatul spontan al acţiunilor individuale. De altfel, potrivit lui Warren Weaver, unul dintre cei mai influenţi autori din domeniu, prin complexitatea unui sistem trebuie să înţelegem exact gradul de dificultate cu care ne confruntăm în predicţia, matematică sau nu, a proprietăţilor întregului atunci când se cunosc proprietăţile părţilor. În opinia acestuia, complexitatea apare sub două forme: complexitate dezorganizată şi complexitate organizată. Prima rezultă din numărul foarte mare de părţi ce alcătuiesc întregul, iar cea din urmă rezultă din modul în care părţile întregului interacţionează nealeatoriu pentru a produce proprietăţi emergente.

În acest sens, sistemele complexe se disting prin aceea că manifestă proprietăţi ce nu par evidente din studiul componentelor luate individual. Exemple de sisteme complexe pentru care sunt dezvoltate modele matematice de complexitate includ coloniile de furnici, structurile sociale, sistemele nervoase, organismele biologice, ecosistemele, infrastructurile de telecomunicaţii sau sistemele climatice.

Un recif de corali, exemplu de ecosistem marin
Credit: wikimedia.org

O categorie specială de sisteme complexe sunt sistemele complexe adaptive. Acestea sunt considerate complexe, întrucât sunt diverse şi alcătuite din multe elemente interconectate; sunt considerate adaptive, întrucât prezintă capacitatea de a învăţa din experienţă şi de a se schimba. Printre cele mai studiate astfel de sisteme pot fi enumerate sistemul nervos uman sau sistemul imunitar. Ideea de sistem complex adaptiv este în mod esenţial una evoluţionistă şi de ea se leagă o bună parte a cercetărilor privind viaţa artificială sau inteligenţa artificială.

Sistemele complexe şi inteligenţa artificială (3)

BIBLIOGRAFIE:

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_system
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_algebra
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-linear
http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory

Autor: Ionuţ Micu