Definiţia şi construcţia mulţimii numerelor complexe

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Matematica

Scris de Mihai Bărbulescu

Vineri, 18 Martie 2011 11:11

Ştim că în mulţimea numerelor reale nu putem rezolva o ecuaţie de gradul II, al cărei discriminant (expresie matematică formată din coeficienţii ecuaţiei, mai exact b^2-4ac , unde ecuaţia dată este ax^2+bx+c=0 ) este negativ. Numerele complexe au apărut ca o necesitate a rezolvării acestor ecuaţii şi au fost introduse începând cu secolele XVII-XVIII de matematicieni celebrii ca Euler, Moivre sau Gauss. În acest articol ne propunem să aflăm cum a fost construită mulţimea numerelor complexe.

Multimea numerelor complexe formeaza o structura de corp pe plan
Mulţimea numerelor complexe formează o structură de corp comutativ pe plan şi are numeroase aplicaţii în geometria plană.
credit: mathwarehouse.com

Interesant este că pentru prima oară s-a vorbit de „numere imaginare” încă din anul 1545, de către matematicianul şi medicul italian Girolamo Cardano. Cum a fost, însă, posibilă, construcţia corectă a unei mulţimi noi de numere, care să aibă în componenţă numere imaginare şi nu reale?

Noi până acum am fost obişnuiţi să lucrăm pe mulţimea şi pe axa numerelor reale (deci unidimensional). Pe această mulţime lucram cu operaţiile de adunare şi de înmulţire. În matematică spunem că mulţimea numerelor reale, împreună cu cele două operaţii, formează o structură de corp, adică $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ este corp. Ce-ar fi dacă am lua mulţimea rezultată în urma produsului cartezian $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \{(a,b) | a,b \in \mathbb{R}\}$ ?

Pe mulţimea pe care o vom nota $\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ introducem operaţiile de adunare şi de înmulţire astfel: $(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d); (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd, ad+bc)$ . Mă veţi întreba, probabil, cum de m-am gândit la aceste operaţii? Mi-am propus să determin un număr, i, care va avea proprietatea că i^2 = -1 . Întâi de toate observăm că funcţia $f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times {0}, f(x) = (x,0)$ este bijectivă. Codomeniul acestei funcţii reprezintă, din punct de vedere geometric, chiar axa Ox, iar domeniul îl constituie planul. Cu alte cuvinte, din punct de vedere geometric, prin această funcţie transferăm orice număr din plan pe axa numerelor reale. De acum încolo voi nota orice fel de pereche (x,0) cu x.

Să luăm operaţia de înmulţire definită anterior pe mulţimea noastră şi să calculăm $(0,1)^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (0 \cdot 0Â - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1,0) = -1$ . Aşadar, dacă vom nota (0,1) cu {tex}i{/tex vom găsi exact numărul pe care îl căutam !

Ca să fim siguri că mulţimea noastră este bună, trebuie să ne asigurăm că $(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +, \cdot)$ formează o structură de corp comutativ, adică trebuie să verificăm că $(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, +)$ este grup comutativ, $(\mathbb{R} \times \mathbb{R}, \cdot)$ este grup, să verificăm distributivitatea înmulţirii nou definite faţă de adunarea nou definită şi că toate elementele din mulţime, mai puţin (0,0) sunt inversabile (sau simetrizabile). Este un exerciţiu foarte uşor pe care l-ar putea face orice elev (de clasa a XII-a) care cunoaşte conceptul de grup şi de element inversabil.

Să ne mai jucăm puţin cu notaţiile. Elementul (x,y) se mai poate scrie $(x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (0,1) \cdot (y,0) = x + iy.$ Iată aşadar forma algebrică a unui număr complex!

Concluzii: Am construit astfel o nouă mulţime, care constituie un spaţiu peste mulţimea numerelor reale, a cărei structură de corp este bidimensională (pe plan). Iată de ce numerele complexe au numeroase aplicaţii în geometria plană. În această mulţime avem un număr imaginar i^2 = -1 , o proprietate pe care nici un număr real nu o are. Mulţimea se va nota cu $\mathbb{C}$ , care împreună cu adunarea şi înmulţirea formează o structură de corp comutativ.

O altă metodă de construcţie a corpului numerelor complexe

Fie o mulţime, pe care o notăm $\mathbb{C}$ , alcătuită din matricele pătratice de ordinul doi, de forma
$\small \left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a \end{array} \right)$ , matrice pe care o vom nota cu M(a,b) .
Să efectuăm adunarea şi înmulţirea matricelor:

$\tiny M(a,b)+M(c,d) = \left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a \end{array} \right) + \left(\begin{array}{cc}c & -d \\ d & c \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}a+c & -b-d \\ b+d & a+c \end{array} \right) = M(a+c,b+d)$

$\tiny M(a,b) \cdot M(c,d) = \left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{cc}c & -d \\ d & c \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}ac-bd & -ad-bc \\ ad+bc & ac-bd \end{array} \right) = M(ac-bd,ad+bc)$ .

Iarăşi, ca un mic exerciţiu, vă îndemn să demonstraţi că $(\mathbb{C},+)$ este grup comutativ, $(\mathbb{C}, \cdot)$ este un monoid comutativ, şi că înmulţirea este distributivă faţă de adunare. Orice matrice M(a,b), unde a şi b sunt numere reale nenule, este inversabilă, deoarece determinatul matricei M(a,b) este diferit de 0 oricare ar fi a şi b numere reale nenule, iar inversa matricei sale va fi $M^{-1}(a,b) = \frac{1}{a^2+b^2}M(a,-b)$ .

Dacă vom efectua înmulţirea între $M(a,b)$ şi inversa sa, vom obţine M(1,0) , care este elementul neutru al înmulţirii, şi pe care îl voi nota cu 1. Asta deoarece functia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, f(x) = \left(\begin{array}{cc}x & 0 \\ 0 & x \end{array} \right)$ este bijectivă.

Ce se întâmplă oare în corpul nou format dacă efectuăm operaţia

$\small M(0,1) \cdot M(0,1) = \left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) = M(-1,0) = -1$ ?

Iată-l pe i = M(0,1), i^2 = -1 .

În concluzie, prin notaţie, matricea M(a,b) = M(a,0) + M(0,b) = M(a,0) + M(0,1)M(b,0) = a + ib reprezintă forma algebrică a unui număr complex.

Pe această nouă construcţie am putea merge mai departe:

Fie matricea

$\left(\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{array} \right)$

despre care, prin inducţie, se poate demonstra că are proprietatea

$\left(\begin{array}{cc}\cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{array} \right)^n = \left(\begin{array}{cc}\cos nx & -\sin nx \\ \sin nx & \cos nx \end{array} \right)$

Observaţi că aceasta este exact formula lui Moivre?

Matricea M(cos x, sin x) este exact forma trigonometrică a unui număr complex $z = \cos x + i\sin x$ .

Formula lui Moivre spune că $z^n = \cos nx + i\sin nx$ .

Pe forumul Scientia puteţi găsi un referat excelent despre numerele complexe sub formă trigonometrică.

Citeşte şi:

Teorema fundamentală a aritmeticii (25-03-2011) Teorema lui Wilson (25-03-2011) Conjectura lui Andrica (25-03-2011) Centrul unui grup (26-03-2011) Inducţia matematică - aplicaţii (15-03-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII