Teorema lui Wilson

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Teorema lui Wilson

Matematica

Scris de Adrian Olteanu

Vineri, 25 Martie 2011 10:49

Teorema lui Wilson afirmă că fiind dat un număr natural $p\ge 2$ , următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) este număr prim;

b) $(p-1)!+1\equiv 0(mod p)$ ;

Demonstraţie.

Avem U(Z_p)=Z_p^* (grup multiplicativ cu p-1 elemente) şi $\prod_{\hat{k}\in Z_p^*}\hat{k}=\prod_{ord(\hat{k}^`)=2}\hat{k}^`$

Dar $ord(\hat{k}^`)=2$ dacă $(\hat{k}^`)^2=\hat{1}$ sau $(\hat{k}^`-\hat{1})(\hat{k}^`+\hat{1})=\hat{0}$ sau p|(k^`-1)(k^`+1) şi p fiind prim divide unul dintre factori, deci sau p|(k^`+1) , adică $\hat{k}^`=\hat{1}$ sau $\hat{k}^`=\hat{-1}$ (singurele clase de ordin 2). Relaţia $\prod_{\hat{k}\in Z_p^*}\hat{k}=\prod_{ord(\hat{k}^`)=2}\hat{k}^`$ devine $\hat{1}\cdot \hat{2}...(\hat{p-1})=\hat{1}(\hat{-1})=\hat{-1}$ deci $(p-1)!+1\equiv 0(mod p)$ .

Reciproc. Dacă p este neprim, p=ab,a>1,b>1 , atunci si a|(p-1)! . Dacă am avea $(p-1)!+1\equiv 0(mod p)$ atunci $(p-1)!+1\equiv 0(mod a)$ . Contradicţie cu $(p-1)!\equiv 0(mod a)$ .

Aplicaţie. Fie p un număr prim şi k un număr natural cu condiţia $1\le k\le p$ . Să se arate că numărul $(p-k)!(k-1)!+(-1)^{k-1}$ este divizibil cu p.

Avem congruenţele modulo p: $1\equiv -(p-1),2\equiv -(p-2),...,k-1\equiv -(p-k+1)$ care înmulţite dau $(k-1)!\equiv (-1)^{k-1}(p-1)(p-2)...(p-k+1)$ .

Deci $(p-k)!(k-1)!\equiv (-1)^{k-1}(p-1)!\equiv (-1)^k$ (datorită teoremei lui Wilson).

Observaţie. Problema poate fi privită ca o generalizare a teoremei lui Wilson, pe care o obţinem în cazul particular p=k.

Bibliografie: Matematică pentru grupele de performanţa, editura Dacia Educaţional.

Citeşte şi:

Conjectura lui Andrica (25-03-2011) Centrul unui grup (26-03-2011) Inducţia matematică - aplicaţii (15-03-2011) Introducere în inducţia matematică (15-03-2011) Grupul lui Klein (15-03-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII