Centrul unui grup

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Centrul unui grup

Matematica

Scris de Adrian Olteanu

Sâmbătă, 26 Martie 2011 10:46

Multe din problemele de comutativitate în grupuri, altfel delicate, se rezolvă mai uşor dacă ţinem seama de structura algebrică de subgrup a centrului unui grup.

Manevrele posibile ale unui cub Rubik formează un grup
Credit imagine: Wikimedia Commons

Definiţie: Fie $(G,\cdot )$ un grup şi $X\subset G$ o submulţime a sa. Mulţimea $Z(X)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in X\}$ se numeşte centralizatorul mulţimii X.

Definiţie: Mulţimea $Z(G)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in G\}$ se numeşte centrul grupului G.

Propoziţie: Pentru orice mulţime $X\subset G,(Z(X),\cdot )$ este subgrup al grupului $(g,\cdot )$ .

Dacă $g_1,g_2\in Z(X)$ avem (g_1g_2)x=g_1(g_2x)=g_1(xg_2)=(g_1x)g_2=x(g_1g_2) deci $g_1g_2\in Z(X)$ .

Din g_1x=xg_1 rezultă $xg_1^{-1}=g_1^{-1}x$ deci $g_1^{-1}\in Z(X)$ .

Observaţie: Subgrupul Z(X) este format din elementele lui G care comută cu toate elementele mulţimii X.

Definiţie: Mulţimea $N(X)=\{g\in G|gX=Xg\}$ se numeşte normalizatorul mulţimii X.

Propoziţie: Pentru orice submulţime $X\subset G$ , normalizatorul $(N(X),\cdot )$ este subgrup al grupului $(G,\cdot )$ . (Demonstraţia se face analog cu cea de la centrul grupului)

Consecinţe:

1. Z(X) este subgrup al lui N(X)

2. Dacă H este subgrup al lui G, atunci H este subgrup al lui N(H).

3. Fie $(G,\cdot )$ un grup şi $n,p\in Z$ . Notăm cu (n,p)=1 . Dacă $\forall x\in G$ şi $x^n\in Z(G)$ şi $x^p\in Z(G)$ , atunci $(G,\cdot )$ este grup abelian.

Bibliografie: G.M. 4-5/1990.

Citeşte şi:

Inducţia matematică - aplicaţii (15-03-2011) Introducere în inducţia matematică (15-03-2011) Grupul lui Klein (15-03-2011) Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real (15-03-2011) Inegalităţile mediilor (15-03-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII