Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real

Ultimele intrebari pe QA

Tigara electronica
Tigari electronice
Y7.ro
Stiri

RSS 2.0

Participaţi la concursul "Medicina azi"! (06.02-25.05)! Citiţi regulamentul concursului.

Matematica

Scris de Laurenţiu Tuca

Marţi, 15 Martie 2011 06:37

În nenumărate probleme de matematică sunt întâlnite conceptele de parte întreagă şi parte fracţionară a unui număr real. În articolul de mai jos definim aceste două concepte şi enumerăm principalele proprietăţi menite să vă ajute în rezolvarea problemelor de matematică cu parte întreagă şi parte fracţionară.

$Partea intreaga si fractionara$

Fie $x\in\mathbb{R}$ un număr real dat.

Definiţia 1: Se numeşte parte întreagă a numărului real cel mai mare număr întreg ce nu-l depăşeşte pe . Alternativ putem defini partea întreagă a lui având în vedere următoarele aspecte: pentru numărul real există şi este unic $k\in\mathbb{Z}$ cu proprietatea $k\le x$ .

Notaţie: Partea întreagă a lui se notează cu [x] .

Definiţia 2: Se numeşte parte fracţionară a numărului real diferenţa dintre şi partea lui întreagă.

Notaţie: Partea fracţionară a lui se notează cu $\{x\}$ . Având în vedere această notaţie, partea fracţionară se defineşte astfel: $\{x\}=x-[x]$ .

Proprietăţi:

1) Pentru $\forall k\in\mathbb{Z},[k]=k$ ;

2) Pentru $\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}$ are loc egalitatea [x+k]=[x]+k ;

3) Pentru $\forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R}$ are loc relaţia $\{x+k\}=\{x\}$ ;

4) Pentru $\forall k\in\mathbb{Z}$ avem $\{k\}=0$ ;

5) Pentru $\forall x\in\mathbb{R}$ avem $0\le\{x\}<1$ ;

6) Pentru $\forall x,y\in\mathbb{R}$ are loc $[x+y]\ge[x]+[y]$ ;

7) Pentru orice două numere reale pozitive x,y are loc inegalitatea $[xy]\ge[x][y]$ ;

8) Pentru $\forall n\in\mathbb{N^{*}},\forall x\in\mathbb{R}$ este adevărată identitatea $[\frac{x}{n}]=[\frac{[x]}{n}]$ ;

9) Pentru $\forall n\in\mathbb{N^{*}}, \forall x\in\mathbb{R}$ are loc identitatea lui Hermite:

$[x] + [x+\frac{1}{n}] + [x+\frac{2}{n}] +...+ [x+\frac{n-1}{n}]=[nx]$

sau în scriere prescurtată:

$\dsiplaystyle \sum_{k=0}^{n-1}Â [x+\frac{k}{n}]=[nx]$

Citeşte şi:

Inegalităţile mediilor (15-03-2011) Definiţia, proprietăţile şi graficele logaritmilor (13-03-2011) Derivate ale funcţiilor uzuale (27-02-2011) Derivate şi reguli de derivare (27-02-2011) Tabele de integrale nedefinite şi de primitive uzuale (26-02-2011)

Adaugă comentariu

JComments

Ultimele mesaje pe forum

Probabilitate

Este numar natural multimea N incepe cu 0,iara zero e cardinalul multimii vide.Vad ca in unele contexte il exclud pe 0 si eu personal vad asta ca pe o idiotenie.De ce sa il excluzi pe 0 cand 0 are semnificatia sa clara ca numar.0 are rolul sau si e necesar sa il i...

mic exercitiu intelectual: geocentrism vs heliocentrism

Citat din mesajul lui: alexandru n. din Mai 16, 2012, 08:10:31 - experimentele lui Airy (numite convenabil de mainstream ”Airy’s failure”; de notat că George Airy era la rândul lui convins de heliocentrism, şi a pornit la acea experimentare cu gândul să demonstreze...

Problema: oglinda concava

Nu conteaza. Pozitia focarului este la o distanta de 0.5R atat fata de O cat si fata de O', nu? Se schimba doar semnul diferentei de sub modul.

Tangenta despre scrierile lui Ioan Damaschin

Citat din mesajul lui: AlexandruLazar din Ieri la 10:25:56 Eu sunt departe de a minimaliza importanța Sf. Ioan Damaschin în filosofia europeană; cu siguranță scrierile sale au fost un factor de progres, din păcate nu tocmai reprezentativ pentru Biserica acelor seco...

Scientia

Scientia terras irradiamus

Ultimele intrebari pe QA

Ultimele mesaje pe forum

SITEMAP • CONTACT• TERMENI ŞI CONDIŢII