Scientia

Scientia terras irradiamus

Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real Imprimare Email
Matematica
Scris de Laurenţiu Tuca   
Marţi, 15 Martie 2011 06:37

În nenumărate probleme de matematică sunt întâlnite conceptele de parte întreagă şi parte fracţionară a unui număr real. În articolul de mai jos definim aceste două concepte şi enumerăm principalele proprietăţi menite să vă ajute în rezolvarea problemelor de matematică cu parte întreagă şi parte fracţionară.

Partea intreaga si fractionara

 

Fie  $x\in\mathbb{R}$ un număr real dat.

Definiţia 1: Se numeşte parte întreagă a numărului real x cel mai mare număr întreg k ce nu-l depăşeşte pe x. Alternativ putem defini partea întreagă a lui x având în vedere următoarele aspecte: pentru numărul realx există şi este unic k\in\mathbb{Z} cu proprietatea k\le x .

Notaţie: Partea întreagă a lui x se notează cu [x].

Definiţia 2: Se numeşte parte fracţionară a numărului real x diferenţa dintre x şi partea lui întreagă.

Notaţie: Partea fracţionară a lui x se notează cu \{x\}. Având în vedere această notaţie, partea fracţionară se defineşte astfel: \{x\}=x-[x].

Proprietăţi:

1) Pentru \forall k\in\mathbb{Z},[k]=k;

2) Pentru \forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R} are loc egalitatea [x+k]=[x]+k;

3) Pentru \forall k\in\mathbb{Z},\forall x\in\mathbb{R} are loc relaţia \{x+k\}=\{x\};

4) Pentru \forall k\in\mathbb{Z} avem \{k\}=0;

5) Pentru \forall x\in\mathbb{R} avem 0\le\{x\}<1;

6) Pentru \forall x,y\in\mathbb{R} are loc [x+y]\ge[x]+[y];

7) Pentru orice două numere reale pozitive x,y are loc inegalitatea [xy]\ge[x][y];

8) Pentru \forall n\in\mathbb{N^{*}},\forall x\in\mathbb{R} este adevărată identitatea [\frac{x}{n}]=[\frac{[x]}{n}];

9) Pentru \forall n\in\mathbb{N^{*}}, \forall x\in\mathbb{R} are loc identitatea lui Hermite:

[x] + [x+\frac{1}{n}] + [x+\frac{2}{n}] +...+ [x+\frac{n-1}{n}]=[nx]

sau în scriere prescurtată:

\dsiplaystyle \sum_{k=0}^{n-1}  [x+\frac{k}{n}]=[nx]

 


Citeşte şi:


Scientia