În acest articol vom introduce noţiunile fizice de energie, putere ale unui circuit de curent continuu, formulele acestora şi vom rezolva problema transferului maxim de putere de la generator la consumator.
Curentul electric reprezintă un transport de sarcină electrică (de electroni) dintr-un punct în altul al unui conductor. Transportul sarcinii electrice este realizat de forţa câmpului electric, care transmite energia generatoarelor către consumatori. La rândul ei, energia transmisă consumatorilor se poate transforma în energie termică (efectul termic, pe baza căruia funcţionează reşourile), în energie magnetică, în energie chimică (în cazul unui acumulator pus la încărcat), în energie luminoasă şi în multe alte forme de energie.
Să luăm un circuit simplu, care are un generator de tensiune electromotoare E, rezistenţă internă r şi o rezistenţă exterioară R. Fie q sarcina electrică a purtătorilor de sarcină transportaţi prin rezistenţa R. Lucrul mecanic („efortul”) efectuat de câmpul electric pentru deplasarea acestor purtători are expresia {tex}$L=qU${/tex}, unde U este tensiunea la bornele rezistenţei. Astfel, din legea conservării energiei, putem spune că lucrul mecanic îl vom regăsi sub o formă din cele enumerate în primul paragraf.
Energia consumată pe circuitul exterior
Aşadar, energia transformată de rezistor (consumator), într-un interval de timp, are expresia: {tex} $ W = qU $ {/tex} . Dar ştim că intensitatea curentului este definită ca sarcina transportată în unitatea de timp, adică {tex} $ I = \frac{q}{t} $ {/tex} sau {tex} $ It = q $ {/tex}. Astfel, energia se mai poate scrie ca: {tex} $ W = UIt $ {/tex}. Aplicând legea lui Ohm pe o porţiune de circuit găsim şi alte forme pentru care putem scrie energia: {tex} $ W = RI^2t = \frac{U^2}{R}t $ {/tex}.
Puterea circuitului exterior
Aşa cum ştim de la mecanică, puterea reprezintă energia (sau lucrul mecanic) dezvoltată în unitatea de timp. La bornele consumatorului (rezistorului) puterea electrică va avea expresia: {tex}$P = UI ${/tex}. Aceasta reprezintă puterea consumată pe circuitul exterior, care se mai poate scrie şi {tex}$P = RI^2 = \frac{U^2}{R} ${/tex}. Puterea consumata de generator pe întregul circuit va avea expresia: {tex}$P = EI ${/tex} sau {tex}$P = I^2(R+r) ${/tex}.
Unităţi de măsură
Unitatea de măsură pentru energie este Joule (J), iar pentru putere este Watt (W). În practică, pentru energie este folosită unitatea de măsură Ws (Watt-secundă), in loc de Joule. Tocmai de aceea când vine factura la electricitatea consumată acasă, această este exprimată în kWh ({tex}$1 kWh = 1000 W \cdot 3600 s = 3,6 \cdot 10^6 J ${/tex}).
Transferul optim de putere
Folosind relaţia {tex}$P = RI^2${/tex} şi legea lui Ohm pe întregul circuit {tex}I = \frac{E}{R+r}{/tex}, obţinem că puterea furnizată circuitului exterior are expresia: {tex}P = \frac{RE^2}{(R+r)^2}{/tex}. Astfel, putem observa că puterea variază o dată cu rezistenţa circuitului exterior. Voi arăta prin două moduri, matematic, ce valoare trebuie să aibă rezistenţa circuitului exterior pentru ca generatorul să transfere cea mai mare putere circuitului exterior.
Spuneam că puterea transferată variază o dată cu rezistenţa consumatorului, după formula: {tex}P = \frac{RE^2}{(R+r)^2}{/tex}.
Metoda 1: Expresia mai poate fi scrisă {tex}P = \frac{E^2}{(\sqrt{R}+{r}/{\sqrt{R}})^2}{/tex}. Am stabilit că singura valoare variabilă este R. Astfel trebuie ca numitorul să fie cât mai mic. Numitorul reprezintă suma a două numere pozitive, al căror produs e constant. În matematică se demonstrează elegant următoarea teoremă: „Suma a două numere pozitive, al căror produs e constant, este minimă, atunci când numerele sunt egale”. Cum se face asta? Nimic mai simplu: Pornim de la relaţia: {tex}$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab${/tex}. Avem că o cantitate pozitivă este egală cu suma dintre o altă cantitate pozitivă şi o constantă. Cantitatea din stânga va fi minimă, dacă şi cantitatea din dreapta este minimă. Cum cea mai mică valoare este 0, înseamnă că {tex}$(a-b)^2 = 0${/tex}, adică a=b.
Aşadar pentru problema noastră, suma: {tex}$\sqrt{R}+{r}/{\sqrt{R}}${/tex} este minimă dacă : {tex}$\sqrt{R}={r}/{\sqrt{R}}${/tex}, adică {tex}$R = r${/tex}. Valoarea maxima a puterii transferate circuitului exterior este, astfel: {tex}P = \frac{E^2}{4r}{/tex}.
Metoda 2: Avem {tex}P(R) = \frac{RE^2}{(R+r)^2}{/tex}, care este o funcţie continuă, deci şi derivabilă. Derivăm şi obţinem: {tex}\frac{dP}{dR} = \frac{E^2(R-r)}{(R+r)^3}{/tex}. Derivata se anulează dacă R=r, iar din tabelul de variaţie al funcţiei obţinem ca aceasta atinge maximul pentru R=r.
Iată reprezentarea grafică a dependenţei puterii transferate circuitului exterior de rezistenţa acestuia:
Se observă că există două valori diferite pentru care puterea transferată circuitului exterior este aceeaşi. Aceste două valori au proprietatea că {tex}$R_1R_2 = r^2${/tex} şi se poate demonstra uşor pornind de la legea dependenţei.
Concluzii: Puterea transferată de la un generator de curent continuu către un consumator este maximă atunci când rezistenţa consumatorului este egală cu rezistenţa internă a generatorului. Se spune că avem de-a face cu transferul optim de putere sau că generatorul lucrează în sarcină adaptată, iar randamentul acestui generator este de 50%. Întrucât randamentul unui circuit electric simplu se determină după regula {tex}$ \eta = W_{exterior}/W_{generator}${/tex}, care ne conduce la {tex}$ \eta = \frac{R}{R+r} $ {/tex}, iar pentru R=r avem {tex}$\eta = 1/2${/tex}.
