Da, e una din metodele pe care le-am folosit, eu i-am zis metoda „pâine feliată” pentru că se face calculul pe felii, pe straturi nxn cubulețe de grosimea un cubuleț. Numai că eu am pornit de la stratul din mijloc spre margine, (n-1)/2 în total fără cel din mijloc. Și în plus am menținut numărătoarea în spațiu fără a o proiecta în plan. În acest sens am exemplificat în câteva imagini mersul logic și numărătoarea în sine.
Evident, calculele se bazează (cum ați menționat) pe faptul (demonstrabil) că planul dat intersectează toate cubulețele doar prin mijlocul laturilor și (în plus) secțiunile prin cubulețe sunt hexagoane regulate sau triunghiuri echilaterale cu laturile egale. Aceasta rezultă și se demonstrează din figura următoare: (aici)
Mai departe: iată imaginea pentru stratul din mijloc (cubul este 5x5x5, pe care l-am avut la îndemână, dar raționamentele se pot face foarte bine din figură și pentru cazul nxnxn). (aici)
Sunt n hexagoane regulate și 2(n-1) triunghiuri echilaterale. Deci:
N0=n+2(n-1)=3n-2
Pentru următorul strat: (aici)
Sunt n-1 hexagoane și 2(n-1) triunghiuri. Adică:
N1= n-1+2n-2=3n-3
Pentru următorul strat: (aici)
Sunt N1-3 cubulețe intersectate:
N2= N1-3=3n-6
Deja avem o regulă: Nk= 3n-3k , k = 1,2,3, ....(n-1)/2.
Se face suma, se înmulțește cu doi (straturile din partea de jos) și se adună N0 (stratul din mijloc).
N= 2x[3n-3x1+ 3n-3x2+ 3n-3x3+....+ 3n-3x(n-1)/2] + 3n-2
Rezultatul final:
N = 1 + 2,25 (n2-1)
Verificare: n=3 N=1+2,25 x 8 = 19
n=25 N= 1+2,25 x 624 = 1045
Constat că metoda menținerii calcului în spațiu e mai dificil de dus la capăt în comparație cu cea pe care ați dat-o dvs. Totuși, ca să-i găsesc și o calitate, mă gândesc că stimulează dezvoltarea viziunii în spațiu.
Ar mai fi de prezentat cealaltă metodă menționată implicit la început, care pleacă de la cubulețul din mijloc adăugând rând pe rând câte un strat de cubulețe în jur și făcând calculul pentru fiecare caz. Se ajunge la o regulă și făcând suma rezultatelor parțiale rezultă numărul total. Dar o las, eventual, pe un alt comentariu.