Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.4k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
232 vizualizari

Scotocind prin arhiva întrebărilor mi-a atras atenția și aceasta:

Câte cubulețe intersectează acest plan?

Nici nu se putea altfel pentru cineva pentru care cubul nu e doar o simplă figură geometrică!

Pornind de la această întrebare aș merge ceva mai departe cu aceeași întrebare dar pentru un cub n x n x n. Deci:

Un cub de  n x n x n   cubulețe identice este format din n3 cubulețe (n este un nr. impar). Câte cubulețe intersectează planul perpendicular pe o diagonală a cubului și care trece prin centrul cubului?

Novice (206 puncte) in categoria Matematica
editat de
0 0
Par exemple, pentru un cub de 25 x 25 x 25 oare sunt 1405 cubulețe intersectate?
1 0

Da, așa e.

Mă gândesc că nu le-ați numărat totuși unul câte unul. Deci apare întrebarea: care e formula generală, și cum ați dedus-o?

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

1. Partea de geometrie analitică
Alegând originea axelor într-un vârf al feței de jos a cubului, ecuația planului P care trece prin mijlocul diagonalei, punct de coordonate (n/2, n/2, n/2), și având normala la el vectorul (1, 1, 1) este 1*(x - n/2) + 1*(y - n/2) + 1*(z - n/2) = 0 => x + y + z = 3n/2.
Alegem un cubuleț oarecare având vârfurile diagonalei paralele cu diagonala cubului mare de coordonate (x1, y1, z1) și (x1 + 1, y1 + 1, z1 + 1). Planul P(x1) paralel cu planul P și care trece prin x1 este descris de (x - x1) + (y - y1) + (z - z1) = 0 => x + y + z = x1 + y1 + z1.
Planul P(x1+1) paralel cu planul P și care trece prin x1 + 1 este descris de (x - x1 - 1) + (y - y1  - 1) + (z - z1 - 1) = 0 => x + y + z = x1 + y1 + z1 + 3.
Condiția ca acest cubuleț să fie intersectat este ca planul P să fie între P(x1) și P(x1+1), adică distanțele de la origine la planuri să fie în relația D(x1) < D < D(x1+1).
Formula distanței dintre un punct (x0, y0, z0) și un plan ( ax + by + cz + d = 0) este :D=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\, \; ,d\; \: este\;\: termenul\:\: liber\: din \:\: ecuatia\:\: planului
Relația distanțelor devine  \frac{x+y+z}{\sqrt{3}}< \frac{3n/2}{\sqrt{3}}< \frac{x+y+z+3}{\sqrt{3}}. Rezultă că 
răspunsul la întrebare este dat de numărul seturilor de numere întregi (x, y, z) din intervalul 0...(n-1) care satisfac inegalitatea x + y + z < 3n/2 <  x + y + z +3.


2. Partea de algebră
Inegalitatea ne spune că suma x + y + z poate avea doar valorile [3n/2], [3n/2] - 1 și [3n/2] - 2, n fiind impar. Notez [3n/2] = s
Fiecărei variabile din cele 3 îi asociem un polinom de forma t0 + t1 +t2 + ... + tn-1 în care puterile lui t reprezintă posibilele valori ale variabilei. Dacă facem produsul acestor polinoame atunci coeficientul termenului tk va reprezenta numărul de moduri în care se poate scrie suma x + y + z astfel încât x + y + z = k.
(1 + t + t2 + ... + tn-1)*(1 + t + t2 + ... + tn-1)*(1 + t + t2 + ... + tn-1) =
(1 + t + t2 + ... + tn-1)3 = (1 - tn )3/(1 - t)3 = (1 - t3n + 3t2n - 3tn)(1 - t)-3
Seria Taylor a polinomului (1-t)-n:(1-t)^{-n}=1+nt+\frac{n(n+1)}{2!}t^{2}+...+\binom{n+k-1}{k}t^{k}+... . Pentru n = 3 obținem(1-t)^{-3}=1+3t+6t^{2}+10t^{3}+...+\binom{k+2}{k}t^{k}+...= \sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+2}{k}t^{k}

Produsul se scrie (1-t^{3n}+3t^{2n}-3t^{n}) *(\sum_{k=0}^{\infty }\binom{k+2}{k}t^{k}). Numai primul și ultimul termen din primul factor pot contribui la formarea puterilor ts, ts - 1 și ts - 2. Facând înmulțirile dăm peste următorii coeficienți:
 C_{s-2}=\binom{s}{s-2}-3\binom{s-n}{s-n-2} \: pentru \: puterea \: t^{s-2}

C_{s-1}=\binom{s+1}{s-1}-3\binom{s-n+1}{s-n-1} \: pentru \: puterea \: t^{s-1}

C_{s}=\binom{s+2}{s}-3\binom{s-n+2}{s-n} \: pentru \: puterea \: t^{s}
Numarul cubulețelor este dat de suma C = Cs-2 + Cs-1 + Cs.
Daca n = 2p+1 atunci s = [3(2p +1)/2] = 3p + 1. Desfacând combinările și înlocuind n și s obținem forma finală: C = 9p2 + 9p + 1, cu p = (n - 1)/2.

Putem face verificarea pentru n = 3, p = 1 și se confirmă rezultatul indicat, dar nedemonstrat, de la întrebarea afiliată.

Experimentat (4.9k puncte)
selectat de
0 0

KO !

Mai revin după ce (nădăjduiesc că) o să-mi revin.

0 0
buna idee cu geometrie analitica ,eu initial am incercat problema cu geometrie clasica .Partea cu numarul partitiilor cred ca se putea si mai simplu.Ai plecat de la ideea lui Euler pentru s(n).Totusi exista o idee mai simpla la ecuatia x+y+z=n  cu x,y,z  din 0, n-1

Pentru x ai n posibilitati  si dupa ai y+z=n-x care are n-x +1solutii cu exceptia cazului x=0 care are n astfel numarul de solutii va fi egal cu

n+n+n-1+n-2+....+2=n-1+n(n+1)/2 cred ca nu am gresit
0 0

@zec: Probabil se putea mai simplu dacă ținem cont că pentru x1  + x2 + ... + xk = n, numărul de soluții este dat de C(n + k - 1, k - 1).

1 0
Gheorghița: Iată că (mi-) am revenit.

Trebuie să recunosc că ultimul meu comentariu a fost cam laconic și neclar. Asta pentru că m-am trezit într-o situație cam dificilă: aveam în față o rezolvare a unei probleme propuse de mine, rezolvare pe care nu o înțelegeam mai deloc, și nici măcar nu puteam să-mi dau seama dacă e corectă. Cu noțiuni de geometrie analitică și algebră superioară n-am mai lucrat de zeci de ani, și acum îmi erau aproape complet necunoscute. Vă întrebați, poate, de ce am pus atunci întrebarea? Pentru că eu o rezolvasem cu mijloacele geometriei clasice.

Totuși, când am văzut cine a dat vot pozitiv răspunsului dvs. m-am lămurit că e corectă. Așa că m-am pus pe treabă. Am revăzut unele noțiuni de matematică pe care le uitasem complet, și altele pe care probabil  nici nu le-am înțeles la vremea lor (ce vremuri, totuși!). Concluzia: rezolvarea e corectă și elegantă! Sau cum ar zice ardeleanul: faină. Fără să mai punem la socoteală că și eficientă, pentru că astfel se poate rezolva și situația în care n este un nr. par (lucru pe care cu abordarea urmată de mine e aproape imposibil). Singurul lucru care mă împiedică, deocamdată, să selectez răspunsul ca „cel mai bun răspuns” e gândul de a da și altora, care poate au văzut întrebarea mai târziu, șansa de a intra în joc cu un răspuns de altă natură. Geometria clasică sau altceva, cine știe.

Încă o dată: jos pălăria!
1 0

Mulțumesc!
O schiță a unei abordări diferite este următoarea:
Consider cubul ca fiind n paralelipipede de inalțime 1 fiecare.
n = 2p + 1. Tai cubul în două cu un plan orizontal. Calculez numărul de cubulețe intersectate din jumătatea de jos (mai puțin paralelipipedul din mijloc) îl dublez din cauza simetriei și adun cubulețele intersectate din paralelipipedul de mijloc, care este caz special.
Se arată că paralelipipedul de la bază are p + (p + 1) + (p + 2) cubulețe intersectate. Următorul, cel de deasupra lui, are (p + 1) + (p + 2) + (p + 3) și ultimul, cel de sub mijloc, are (2p - 1) + 2p + (2p + 1). Numărul de cubulețe pentru partea de jos este  \sum_{k =1}^{p}3(p+k)=\frac{9p^{2}+3p}{2}, cubulețele din mijloc sunt n + (n - 1) + (n - 1) = 6p + 1, iar totalul este  \frac{9p^{2}+3p}{2}+\frac{9p^{2}+3p}{2}+6p+1.
Calculele se bazează pe faptul că planul P trece prin mijloacele tuturor muchiilor pe care le intersectează. Intersecțiile dintre planul P și fețele orizontale ale unui paralelipiped sunt două drepte paralele cu o diagonală a fețelor. Proiectăm dreapta de pe fața de sus pe fața de jos și problema se reduce la a calcula (număra) numărul de pătrățele diferite intersectate de două drepte paralele cu diagonala unei table de n x n pătrate.

0 0

Da, e una din metodele pe care le-am folosit, eu i-am zis metoda „pâine feliată” pentru că se face calculul pe felii, pe straturi nxn cubulețe de grosimea un cubuleț. Numai că eu am pornit de la stratul din mijloc spre margine, (n-1)/2 în total fără cel din mijloc. Și în plus am menținut numărătoarea în spațiu fără a o proiecta  în plan. În acest sens am exemplificat în câteva imagini mersul logic și numărătoarea în sine.

Evident, calculele se bazează (cum ați menționat) pe faptul (demonstrabil) că planul dat intersectează toate cubulețele doar prin mijlocul laturilor și (în plus) secțiunile prin cubulețe sunt hexagoane regulate sau triunghiuri echilaterale cu laturile egale. Aceasta rezultă și se demonstrează din figura următoare: (aici)

Mai departe: iată imaginea pentru stratul din mijloc (cubul este 5x5x5, pe care l-am avut la îndemână, dar raționamentele se pot face foarte bine din figură și pentru cazul nxnxn). (aici)

Sunt n hexagoane regulate și 2(n-1) triunghiuri echilaterale. Deci:

N0=n+2(n-1)=3n-2

Pentru următorul strat: (aici)

Sunt n-1 hexagoane și 2(n-1) triunghiuri. Adică:

N1= n-1+2n-2=3n-3

Pentru următorul strat: (aici)

Sunt N1-3 cubulețe intersectate:

N2= N1-3=3n-6

Deja avem o regulă: Nk= 3n-3k ,  k = 1,2,3, ....(n-1)/2.

Se face suma, se înmulțește cu doi (straturile din partea de jos) și se adună N0 (stratul din mijloc).

N= 2x[3n-3x1+ 3n-3x2+ 3n-3x3+....+ 3n-3x(n-1)/2] + 3n-2

Rezultatul final:

N = 1 + 2,25 (n2-1)

Verificare:    n=3           N=1+2,25 x 8 = 19

                  n=25         N= 1+2,25 x 624 = 1045

Constat că metoda menținerii calcului în spațiu e mai dificil de dus la capăt în comparație cu cea pe care ați dat-o dvs. Totuși, ca să-i găsesc și o calitate, mă gândesc că stimulează dezvoltarea viziunii în spațiu.

Ar mai fi de prezentat cealaltă metodă menționată implicit la început, care pleacă de la cubulețul din mijloc adăugând rând pe rând câte un strat de cubulețe în jur și făcând calculul pentru fiecare caz. Se ajunge la o regulă și făcând suma rezultatelor parțiale rezultă numărul total. Dar o las, eventual, pe un alt comentariu.

...