Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.4k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 1 minus
496 vizualizari

Sa se rezolve in numere naturale ecuatia:

(x^2+y^2)(z^2+t^2)=4(xz+yt)^2

Experimentat (2.3k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

5 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Partea stîngă a ecuației se dezvoltă și se rescrie astfel :

(x2 + y2)(z2 + t2) = x2z2 + x2t2 + y2z2 + y2t2 = (x2z2 + y2t2 + 2xyzt) + (x2t2 + y2z2 - 2zyzt) = (xz + yt)2 + (xt - yz)2. Ecuația devine:

(xz + yt)2 + (xt - yz)= 4(xz + yt)2  ---->  (xt - yz)= 3(xz + yt)2. Această egalitate este posibilă doar dacă ambii membri sînt egali cu zero. Deci, în numere întregi, conform titlului, soluția este x = y = 0 și z, t orice număr întreg sau z = t = 0 și x, y orice număr întreg. În numere naturale, conform enunțului, ecuația nu are soluții.

Experimentat (4.9k puncte)
selectat de
1 0

Foarte frumos.Eu aveam alta solutie care implica mai multa discutie pe care am sa o prezint.

Deoarece 4 divide termenul din stanga  atunci perechile (x,y) si (z,t) nu pot avea paritati diferite simultan.Fara a restrange generalitatea o sa consider x si y impare amandoua ceea ce inseamna ca 

x^2+y^2=\mathit{M}4+2 

si daca z si t sunt impare atunci obtinem (M4+2)(M4+2)=4xN unde Ne numar par.dupa simplificarea cu 4 obtinem o contradictie,mai exact produsul a 2 numere impare da par.

Daca z si t sunt pare inlocuind z=2z' si t=2t' obtinem dupa simplificarea cu 4 aceeasi ecuatie in concluzie se va simplifica pana cand raman 2 numere impare .

Daca x si y sunt pare devine la fel ca in cazul z si t pare si prin simplificare vom ramane cu un x' si y' impare.Astfel nu ramane decat cazul trivial cand x si y sunt nule  sau y si t nule,ducand la solutia triviala.

0 0
Vreau sa specific faptul ca in multimea numerelor naturale se considera 0.E adevarat ca sunt 2 definitii asupra multimi numerelor naturale,una bazata pe cardinal si a doua pe prim element si succesor .Dar in fundamenetele algebrei multimea N e construita ca un monoid unitar in raport cu adunarea si grupul de fractii al sau e multimea Z,mai exact numerele negative sunt construite ca opuse a numerelor naturale.In timp ce Q e construit ca un corp de fractii peste inelul Z.In toata aceasta poveste algebrica nu apare multimea R care e definita prin considerente geometrice,dar defineste si ea o structura de corp o extindere a corpului Q.Multimea C e extinderea inchisa a corpului R adica polinoamele din R[X] se inchid in C adica au radacini complexe si orice polinom din C[X] se inchide in C astfel corpul C se mai numeste corp inchis.

 In consecinta structural si fundamental multimea N il contine pe 0 .
...