Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
152 vizualizari

Așezăm în cerc 2013 numere naturale oarecare, fără să existe două egale, într-o ordine întâmplătoare. Un număr este M dacă numărul din dreapta sa și cel din stânga sa sunt mai mici ca el și m dacă vecinii lui sunt mai mari ca el.

a) De arătat că, oricum ar fi distribuite cele 2013 numere pe acel cerc, există tot atâtea numere M ca și m.

b) Care este domeniul valorilor posibile ale numărului natural n pentru care să existe distribuții conținând exact n numere M? Pentru un n din domeniul găsit evidențiați o distribuție corespunzătoare.

Junior (971 puncte) in categoria Matematica
editat de

1 Raspuns

0 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
E mai corect sa reinterpretam problema sub o forma mai usor de lucrat.

Sa punem valorile de pe cerc intr-un sir in care vom considera cele 2013 valori dar pentru a include si vecinii pentru orice elemente vom include la final primi 2 termeni.

Fie x1,x2,.....x2013,x1,x2 sirul de valori.

Prima observatie :in acest sir nu putem avea o monotonie datorita aparitiei la final a primelor valori.Deci obligatoriu avem o valoare de maxim sau minim.

Daca intre doi termeni consecutivi avem relatia < vom pune semnul + si invers vom pune semnul - ,vom numi variatie o aparitie consecutiva a semnelor + si - .Daca avem o aparitie de + - + e un minim ,sa aratam ca aceasta variatie provoaca un maxim .rescriind termenii sirului incepand cu 2013 practic inversam  si vom semne contrare ceea ce va determina aparitia unui - + - adica unui maxim.Astfel numarul de minime si numarul de maxime este egal.De remarcat ca problema nu tine de numarul 2013 .

Pentru punctul b)Enuntul e putin ciudat formulat ,adica vrea sa zica daca exista n numere care sa faca n maxime?No way!!!

Cred ca intrebarea e vb de cate valori de numere trebuie sa avem pentru a obtine n maxime.Fie N numarul cum avem n maxime atunci avem si n minime deci N>=2n valoarea minima e 2n iar  valoarea maxima nu avem daca asezam in sir valori crescatoare variatiile nu se modifica.

Penrtu cazul n maxime punem 2n termeni in sir astfel incat sa avem mereu variatie.
Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0

Presupun câ semnele +/- le scrieți între numerele din cerc și, dacă e așa, atunci cred că succesiunea + - (și nu - + -) ar însemna prezența unui maxim... Întrebarea a doua poate trebuia formulată mai simplu așa: cărui domeniu de valori aparține numărul de M (cu 2013 numere în toate distribuțiile)?

0 0
asa e ,este un maxim.dar asta nu schimba datele problemei.La intrebarea reformulata poate sa fie de la 1 pana la 1006 .Pentru cazul n=1 consideram ca  un  ceas cu numerele de la 1 la 2013.Valoarea maxima e atinsa doar de 2013.
0 0

rescriind termenii sirului incepand cu 2013 practic inversam 

Și nu e altă distribuție? Nu mi-a prea clar...

0 0
Este sa zic asa o citire in sensul invers pe cerc.Sa zicem ca initial aleg x1 un termen de pe cerc si dupa aia in sensul ceasului urmatori termeni ii indexex pana la 2013.in sensul de citire daca am o crestere fata de precedentul pun + daca valoarea e mai mica decat precedentul pun -.Din cauza ca risc sa nu evaluez si vecinul lui x1 precedent citesc ca sir pana la x2 ca sa am inclus si vecinii lui x1.Citind invers dar in sens  trigonometric si incepand cu cu termenul x2013 semnele se vor schimba si practic ne justifica aparitia si a unei variatii opuse.Adica avem si valori maxime dar avem si valori minime.Asta am facuto ca sa arat ca orice variatie creeaza o variatie opusa in celalalt sir si devine o corespondenta biunivoca adica unui maxim ii corespunde un minim.
0 0
Se acceptă.
...