Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
235 vizualizari
Două puncte se plimbă pe o circumferință de rază r = 1, fiecare cu viteza unghiulară constantă și diferită de a celuilalt. Plimbarea lor e foarte lungă prin comparație cu perioada fiecăruia dintre ele.

Care este media distanței dintre cele două puncte?
Senior (6.6k puncte) in categoria Matematica
1 0
Plimbarea trebuie să fie foarte lungă față de perioada mișcării relative a punctelor, nu față de perioada fiecăruia. De exemplu, dacă perioada unuia e de 100 s și a celuilalt e de 101 s, atunci o plimbare de 1000 s poate părea destul de lungă, dar ar acoperi abia circa o zecime din configurațiile de care trebuie să ținem cont la calculul distanței medii.

Altfel problema e frumoasă.
0 0
Este corectă observația.

În altă ordine de idei, sun convins că ați observat legătura de substanță dintre această întrebare și o întrebare a dumneavoastră mai veche despre timpul mediu de așteptare la un semafor.
0 0
Nu observasem legătura, pentru că condiția de a face măsurări pe intervale foarte lungi în raport cu perioada proprie a sistemului e o condiție obișnuită în problemele de statistică. Aici m-a atras în schimb mai mult partea de geometrie. În particular mi-a plăcut că pînă la urmă distanța variază sinusoidal cu unghiul, pe cînd eu m-aș fi așteptat la o relație mai complicată.
1 0
Ar trebui specificat si in ce sens se misca, relativ, pentru a determina in cat timp se repeta configuratiile.

Daca se misca in sensuri opuse, perioada relativa pentru exemplul dat de Adi e doar un pic mai mare de 50s. 1000 de secunde e sufcient "sampling time".

Dar daca se misca in acelasi sens, perioada e peste 10,000 s.

2 Raspunsuri

5 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Mai inatai putem simplifica problema putin. Distanta dintre puncte depinde doar de viteza relativa. Putem considera un punct fix ai celalalt miscandu-se cu viteza unghiulara w=w1+w2 (sau w1-w2). Putem considera de fapt un punct fix si un al doilea miscandu-se cu o viteza unghiulara arbitrara, constanta, w. Media distantei este independenta de w.  

Distanta variaza sinusoidal si nu uniform.

d=2R|sin(wt/2)|

unde | | inseamna valoarea absoluta (pozitiva).

Inainte de a calcual media ne putem astepta sa fie mai mare decat R. Distanta este mai mica decat R pentru unghiuri intre 0 si 60 de grade si mai mare decat R pentru unghiuri intre 60 si 180 de grade.

Calculand media am obtinut

d_medie=(4/pi)R sau aproximativ 1.27 R.

Edit.

Da, nu am explicat in detaliu cum calculam media.

Pentru of functie periodica e suficient sa integram pe o perioada si sa impartim rezultatul la perioada.

Aici perioada e o jumatate de cerc (180 de grade sau Pi radiani). Deci perioada in timp va fi Pi/w.

Deci trebuie sa integram sin(wt/2) de la zero la Pi/w si apoi sa impartim rezultatul la Pi/w.
Junior (870 puncte)
selectat de
0 0

Puteți explica cum ați obținut valoarea medie a funcției, adică ce înseamnă calculând media? In acest calculând media stă de fapt scopul principal pentru care am formulat întrebarea.

0 0

Da, așa se calculează.

În general, valoarea medie a oricărei funcții integrabile pe un interval de interes e dată de integrala funcției definită pe acel interval împărțită la lungimea intervalului.

Ce e frumos aici e faptul că nu avem o formulă seacă ce poate fi memorată și aplicată mecanic. Ea calculează de fapt înălțimea unui dreptunghi de lungime egală cu intervalul ales și de arie egală cu aria delimitată de funcție și axa oX pe intervalul considerat.

La modul intuitiv, e același mecanism care ne conduce la exprimarea ariei unui trapez ca produs al laturilor unui dreptunghi de înălțime egală cu a trapezului și a cărui lungime este media bazelor trapezului.

Am socotit că problema e un bun exemplu care să ilustreze legătura dintre noțiunea de medie și cea de arie, ceea ce conduce în mod firesc la folosirea integralei definite.

Felicitări pentru răspuns!

0 0
Multumesc lui mircea_p pentru explicatiile sale care, printre altele, m-au ajutat sa inteleg si cat de simplu ar fi fost sa intuiesc faptul ca media nu putea fi tocmai raza cercului.

Ce as vrea sa intreb este daca exista metode de a evalua valoarea acestei integrale fara a avea cunostinte de analiza matematica ori platforme precum wolfram alpha la dispozitie... Se poate cumva ca un licean care stie ceva geometrie si trigonometrie sa calculeze integrala respectiva?
0 0
Imi pare bine ca a folosit.

Din pacate nu cred ca exista metode de a calcula integrale fara a invata despre integrale. Poate grafic. Reprezinti grafic functia de integrat, imparti aria de sub grafic in felii verticale si aduni toate ariile astea (masurate pe grafic). Asta iti va da o valoare numerica (aproximativa), nu o expresie, bineinteles. E o integrala definita.  

Dar de ce it faci probleme? Stii sa calculezi sin(23 grade) fara tabele sau WolframAlpha? Nu zic ca e inutil sa inveti despre integrale (si diferentiale, sigur), o sa o faci in clasa a 12-a, nu? Sau s-a scos din programa?
0 0
Nu sunt în niciun caz reticent la folosirea oricăror unelte și cunoștințe. Întrebam doar ca idee, mai ales pentru că eu am depășit de multă vreme vârsta respectivă, fără a rămâne cu mai nimic din analiza matematică. De unde și curiozitatea dacă aș fi putut ataca problema și fără a poseda noțiuni de matematică avansate...
1 0
Liceanul care nu știe să integreze analitic poate rezolva problema printr-un mic progrămel. Dar atunci soluția nu va arăta sub forma 4/pi*R, ci sub forma 1.2732*R. Cu un calculator obișnuit, în numai cîteva secunde, liceanul poate ajunge la precizii foarte mari, suficiente pentru orice aplicație practică.

Progrămelul trebuie să ia puncte echidistante pe circumferință și pentru fiecare din ele să calculeze distanța pînă la un punct fix aflat tot pe circumferință. Media tuturor acestor distanțe este soluția căutată.

Am făcut și eu acum un astfel de progrămel, de probă, și am constatat că luînd 10 milioane de puncte pe circumferință soluția e găsită cu o precizie superbă, și anume o eroare de o unitate la a zecea zecimală, iar calculul a durat numai o secundă (scrierea programului și rularea lui de cîteva ori cu diferiți parametri au durat vreo 5 minute).

Pentru a obține ca soluție formula exactă 4/pi*R e nevoie de puțină trigonometrie și o integrare foarte simplă, pe care un licean isteț o poate înțelege chiar și înainte să li se predea la clasă. De fapt derivarea și integrarea sînt operații atît de intuitive că s-ar putea învăța și în gimnaziu, iar beneficiul ar fi imens, pentru că sînt noțiuni care ajută la înțelegerea multor fenomene din jurul nostru: mecanice, electrice, termice etc. Oriunde intervin viteze (de deplasare, încălzire, reacție chimică sau variație de orice fel), înțelegerea fenomenului e ajutată mult de înțelegerea derivării.
0 plusuri 0 minusuri
Distanta variaza uniform intre 0 si diametrul cercului, egal cu 2. Media pe o perioada de timp suficient de mare ar trebui sa fie egala chiar cu raza cercului. Deci 1.
Senior (7k puncte)
0 0
Cred că v-ați grăbit. Dar nu vreau să comentez mai mult pentru că abia am pus întrebarea și se mai gândesc și alții la ea, poate.
...