Nu pot să demonstrez că am găsit cea mai bună amplasare, pentru că n-am găsit o cale de a testa toate configurațiile posibile. Pot doar demonstra că, odată stabilită configurația hexagonală pe care o voi descrie și care intuitiv consider că e extrem de probabil să fie cea mai bună, dimensiunile ei concrete sînt cele optime.
Plasez o benzinărie B0 în centrul O al cercului și pe celelalte 6 – de la B1 la B6 – în vîrfurile unui hexagon regulat concentric cu cercul. Benzinăriile B1-B6 deservesc zona periferică a discului, împărțită în 6 sectoare de aceeași formă și mărime, iar B0 deservește o zonă centrală.
Acum mai rămîne să găsesc dimensiunea optimă a configurației. Mai precis, caut distanța optimă de la fiecare din cele 6 benzinării necentrale pînă la O. Mă concentrez pe una din cele 6 benzinării, să zicem B1, care deservește un sector de 60° din disc (minus zona centrală), și notez cu d distanța de la O la B1. Raza cercului o notez cu r. Caut valoarea optimă a lui d.
Dacă aleg un d prea mic, atunci cel mai defavorizat punct din sector este un punct X aflat pe circumferința cercului, pe o rază care face 30° cu raza pe care se află B1. Distanța maximă de parcurs se poate calcula cu teorema lui Pitagora generalizată și este:
x = sqrt(d^2+r^2-2*d*r*sqrt(3)/2)
Dacă în schimb aleg un d prea mare, cel mai defavorizat punct este un punct Y aflat la intersecția dintre aceeași rază care face cu 30° cu raza benzinăriei și mediatoarea segmentului OB1. Distanța maximă de parcurs se scoate cu un cosinus de 30° și este:
y = d*sqrt(3)/3
Cele două funcții x(d) și y(d) se comportă așa: pe măsură ce d crește, y crește continuu și liniar, iar x scade inițial, atinge un minim cînd d = r*sqrt(3)/2 și apoi crește din nou. Valoarea optimă a lui d este aceea pentru care max(x, y) își atinge minimul absolut. Întîmplător asta se petrece exact cînd x își atinge propriul său minim, adică la d = r*sqrt(3)/2. Plasînd benzinăriile B1-B6 la această distanță de centru, distanța maximă de parcurs devine r/2, adică 50 km.