Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
556 vizualizari
Compania petrolieră Imaginary Oil Ltd. se decide să se extindă în Rotundistan, o țară cu o suprafață perfect circulară, cu raza de 100 de kilometri, complet asfaltată și fără vreo restricție de circulație pe întregul disc de rază 100 km.

Compania decide să amplaseze 7 benzinării pe teritoriul perfect circular al lui Rotundistan.

Unde trebuie amplasate benzinăriile astfel încât distanța maximă de parcurs, în linie dreaptă, de oriunde din țară pană la cea mai apropiată benzinărie să fie minimă? Care este acest minim și de ce?
Senior (8.1k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

1 plus 0 minusuri
Nu pot să demonstrez că am găsit cea mai bună amplasare, pentru că n-am găsit o cale de a testa toate configurațiile posibile. Pot doar demonstra că, odată stabilită configurația hexagonală pe care o voi descrie și care intuitiv consider că e extrem de probabil să fie cea mai bună, dimensiunile ei concrete sînt cele optime.

Plasez o benzinărie B0 în centrul O al cercului și pe celelalte 6 – de la B1 la B6 – în vîrfurile unui hexagon regulat concentric cu cercul. Benzinăriile B1-B6 deservesc zona periferică a discului, împărțită în 6 sectoare de aceeași formă și mărime, iar B0 deservește o zonă centrală.

Acum mai rămîne să găsesc dimensiunea optimă a configurației. Mai precis, caut distanța optimă de la fiecare din cele 6 benzinării necentrale pînă la O. Mă concentrez pe una din cele 6 benzinării, să zicem B1, care deservește un sector de 60° din disc (minus zona centrală), și notez cu d distanța de la O la B1. Raza cercului o notez cu r. Caut valoarea optimă a lui d.

Dacă aleg un d prea mic, atunci cel mai defavorizat punct din sector este un punct X aflat pe circumferința cercului, pe o rază care face 30° cu raza pe care se află B1. Distanța maximă de parcurs se poate calcula cu teorema lui Pitagora generalizată și este:

x = sqrt(d^2+r^2-2*d*r*sqrt(3)/2)

Dacă în schimb aleg un d prea mare, cel mai defavorizat punct este un punct Y aflat la intersecția dintre aceeași rază care face cu 30° cu raza benzinăriei și mediatoarea segmentului OB1. Distanța maximă de parcurs se scoate cu un cosinus de 30° și este:

y = d*sqrt(3)/3

Cele două funcții x(d) și y(d) se comportă așa: pe măsură ce d crește, y crește continuu și liniar, iar x scade inițial, atinge un minim cînd d = r*sqrt(3)/2 și apoi crește din nou. Valoarea optimă a lui d este aceea pentru care max(x, y) își atinge minimul absolut. Întîmplător asta se petrece exact cînd x își atinge propriul său minim, adică la d = r*sqrt(3)/2. Plasînd benzinăriile B1-B6 la această distanță de centru, distanța maximă de parcurs devine r/2, adică 50 km.
Expert (12.9k puncte)
0 0
Într-adevăr, ați ajuns la dispunerea ideală a celor 7 benzinării. Nu știu nici eu dacă există o demonstrație riguroasă cu privire la faptul că acest rezultat este cel optim (adică la faptul că 50 km este minimul absolut), dar vă fac o sugestie, curios dacă veți ajunge și dvs. la aceeași demonstrație cu cea pe care o cunosc eu. Și poate vedem apoi dacă mai e ceva de îmbunătățit.

Ideea este că dvs. ați ajuns la o modalitate de a acoperi întregul cerc de rază 100 de kilometri folosind cercuri de rază egală cu 50 de kilometri, cu centrele în cele 7 benzinării. Oare dacă micșorăm acest 50 de kilometri ce se poate întâmpla cu cele 7 cercuri de rază 50 de kilometri, în raport cu cercul mare, indiferent de punctele unde plasăm centrele celor 7 cercuri mici?
0 0
Dacă facem raza celor 7 cercuri puțin mai mică de 50 km, ele nu vor mai reuși să acopere integral suprafața teritoriului, indiferent cum le-am ajusta pozițiile.

Iar dacă raza lor scade sub circa 38 km – mai exact r/sqrt(7) –, atunci aria lor însumată devine mai mică decît aria teritoriului, deci în mod clar nu mai putem acoperi teritoriul. Întrebarea ar fi dacă pentru raze în intervalul 38–50 km putem dispune cercurile mici în așa fel încît să acoperim integral teritoriul. Răspunsul meu (intuitiv și neriguros, dar ferm) este că nu. Configurația în fagure de miere este extrem de eficientă.
0 0
Dacă scădem raza sub 50 de km, ce se întâmplă cu circumferința cercului mare (ca acoperire), presupunând că păstrăm unul din cele 7 cercuri mici concentric cu cel mare?
0 0
Cred că ghicesc ce încercați să-mi spuneți: că 6 cercuri mici pot acoperi circumferința cercului mare numai dacă au raza de cel puțin r/2. Da, e o idee foarte bună și utilă în rezolvarea problemei. Rămîne totuși de demonstrat dacă e și suficient ca cercurile mici să aibă raza r/2 sau nu cumva trebuie o rază mai mare pentru a acoperi și interiorul teritoriului. Și într-adevăr este suficient.
0 0

Vi se pare suficient raționamentul? Mie unul da.

Presupunând că ar exista o configurație a celor 7 benzinării astfel încât minimul absolut să scadă sub 50 de kilometri, ar rezulta că măcar un arc de cerc de pe circumferința cercului mare ar trebui să fie ”deservit” prin plasarea celei de-a 7-a benzinării suficient de aproape de circumferința cercului mare, lăsând cel puțin centrul cercului în afara razei de acțiune de 50 de km a oricăreia din cele 7 puncte-benzinărie.

Chestiunea cheie este tocmai faptul că micșorând distanța maximă de parcurs sub r/2, nu vom putea nicicum deservi orice punct de pe circumferință folosind orice configurație de 6 puncte (fiecare din cele 6 puncte acoperind mai puțin de 2*arcsin(1/2) din circumferință, oriunde ar fi plasat), deci am fi nevoiți să ne folosim și de al 7-lea, lăsând măcar centrul la o distanță prea mare de oricare dintre cele 7 benzinării.

Credeți că e suficient?

0 0
Intuitiv mi se pare într-adevăr suficient, iar ideea mi se pare foarte drăguță. Dar nu știu că aș putea face o demonstrație riguroasă pornind de la ea.
...