Construim următoarea figură:
Fie un cerc de rază oarecare cu centrul în O. Construim o coardă AP pe care o prelungim din P în exteriorul cercului pînă în punctul B, astfel încât AP = PB.
Din B ducem o tangentă la cerc in punctul T. În desenul meu T se află pe arcul de cerc mai mare dintre cele două arce delimitate de coarda AP. Prelungim tangenta dincolo de T.
Construim o coardă din A care intersectează cercul în H și apoi prelungirea tangentei în C. Am obținut astfel triunghiul ABC cu laturile AB = c, BC = a și AC = b.
Presupunem că AH = HC și căutăm să vedem ce proprietăți apar de aici.
Exprimăm puterea punctului B față de cerc, o dată ca aparținînd tangentei BT iar a doua oară ca aparținînd secantei AB. de aici rezultă
BT2 = AB*BP = c*c/2 = c2/2 de unde BT = c/sqrt(2)
Cu ipoteza că AH = HC, procedând analog cu punctul C obținem
TC2 = AC*HC = b*b/2 = b2/2 deci TC = b/sqrt(2).
Dar BT + TC = BC = a de unde rezultă a = ( b + c )/sqrt(2)
Vă doresc un an 2016 cu sănătate și bucurii!