Geometrie plana - III

Question

Ce relatie se impune a fi intre laturile a, b, c ale unui triunghi ABC,  astfel incit cercul ce trece prin A si mijloacele laturilor AB si AC sa fie tangent la BC?

Answer 1

Construim următoarea figură:

Fie un cerc de rază oarecare cu centrul în O. Construim o coardă AP pe care o prelungim din P în exteriorul cercului pînă în punctul B, astfel încât AP = PB.

Din B ducem o tangentă la cerc in punctul T. În desenul meu T se află pe arcul de cerc mai mare dintre cele două arce delimitate de coarda AP. Prelungim tangenta dincolo de T.

Construim o coardă din A care intersectează cercul în H și apoi prelungirea tangentei în C. Am obținut astfel triunghiul ABC cu laturile AB = c, BC = a și AC = b.

Presupunem că AH = HC și căutăm să vedem ce proprietăți apar de aici.

 

Exprimăm puterea punctului B față de cerc, o dată ca aparținînd tangentei BT iar a doua oară ca aparținînd secantei AB. de aici rezultă

 

BT² = AB*BP = c*c/2 = c²/2 de unde BT = c/sqrt(2)

 

Cu ipoteza că AH = HC, procedând analog cu punctul C obținem

 

TC² = AC*HC = b*b/2 = b²/2 deci TC = b/sqrt(2).

Dar BT + TC = BC = a de unde rezultă a = ( b + c )/sqrt(2)

 

Vă doresc un an 2016 cu sănătate și bucurii!

Comments

o mica corectura in loc de AB*AC este AB*BP ,totusi solutia nu e completa in special partea cu suficienta .Adica daca intr-un triunghi ai relatia obtinuta  asta nu inseamna ca si cercul e tangent la latura BC.Este totusi o relatie corecta dar nu si suficienta.

---

Așa e, mi-a scăpat AC în loc de BP, muțumesc pentru observație. Am corectat.

 Eu nu văd problema cu suficiența. Construind un triunghi care îndeplinește relația găsită există un cerc care trece prin punctele A, P, H și T, cu centrul în intersecția mediatoarelor lui AP și AH, poziția lui T fiind determinată de putere punctelor B și C față de cerc.

.

---

E suficienta conditia dar trebuie justificata.Ideea e asa daca avem relatia aceea atunci gasim un punct T care sa imparta BC in 2 segmente BT si CT cu lungimile respective .Din puterea punctului deducem ca BT si CT este egala cu lungimea tangentei dusa din B la cerc ,din cauza ca B,T,C sunt coliniare deducem ca T este chiar punctul de tangenta.Practic puterea punctului B nu ne asigura ca T e chiar punctul de tangenta ci in fapt ne spune ca T este situat pe un cerc de raza BT' unde T' ar fi punctul de tangenta dus din B .Daca am considera ca ar exista alt punct T' ar implica existenta unui alt punct T''  pentru care CT" s-ar intersecta cu BT'  si ar duce la contradictie cu CT=CT" .

---

Sunt corecte afirmațiile dumneavoastră. Mie mi s-a părut evidentă suficiența logică de la început. Adică, dacă avem un triunghi ABC care respectă condiția ca a = (b + c)/sqrt(2), putem construi un cerc care trece prin A, P și H și care e tangent la BC într-un punct T situat la distanța c/sqrt(2) de B și la b/sqrt(2) de C. Dar poate că ar fi trebuit să insist un pic asupra suficienței.

 

La genul ăsta de probleme e aproape o rutină să presupui problema rezolvată iar apoi, raționând pe un desen inexact, să tragi concluziile corecte.

 

Mă bucur că ați ajuns la concluzia că relația găsită nu e doar necesară ci și suficientă.

---

Problema este si simpla, dar si grea totodata. Spun grea pentru ca am atacat chestiunea dupa cum a inteles-o si zec ( bravo ), apelind la reducerea la absurd, puterea punctului, patrulatere inscriptibile si teorema sfinta a cosinusului. Cu alte cuvinte, complicat. Probabil enuntul meu ar fi trebuit sa fie asa cum ati spus in comentariu. Raspunsul oferit este unul pentru care va felicit.
Probabil urarile frumoase au fost pentru toti membrii, dar pentru ca au fost transmise in spatiul meu, imi place sa le percep ca fiind personale. Va multumesc si La Multi Ani, lemne in soba si lopata pentru masina si catei.