O infinitate de triplete de forma ( x, y, z ) = ( +/-2abc(b2+c2), +/- a(b4-c4), +/- 2abc(b2-c2) ), unde a,b,c sunt din Z* si b diferit de +/-c. Expresiile pentru x si y pot fi interschimbate.
Pentru a le obţine putem începe prin a rezolva ecuaţia mai simplă 1/X+1/Y=1/Z, unde X=x2, Y=y2 şi Z=z2 cu X, Y, Z din N*. Trecem 1/Z în primul membru, adunăm fracţiile şi va trebui ca numărătorul fracţiei obţinute să fie nul, adică YZ+XZ-XY=0. Înmulţim egalitatea cu -1, adunăm Z2 ambilor membri şi vom ajunge la (X-Z)(Y-Z)=Z2. De aici calculăm X şi Y dintr-un sistem de forma m(X-Z)=nZ şi n(Y-Z)=mZ, unde m, n sunt relativ prime din N* şi Z e considerat momentan un parametru din N*. Obţinem deci X=Z(m+n)/m şi Y=Z(m+n)/n, care vor fi naturale dacă Z=tmn, cu t din N*. Atunci X=tn(m+n), Y=tm(m+n) şi Z=tmn, care trebuie să fie totodată şi pătrate perfecte (x2, y2 şi z2). Ca atare t, m, n şi m+n trebuie să fie (simultan) pătrate perfecte, adică t=a2, m=p2, n=q2 şi m+n=p2+q2=k2, cu a, p, q, k din Z*. Mărimile p, q, k sunt necunoscute întregi ale ecuaţiei pitagoreice p2+q2=k2 şi, după cum se ştie, trebuie să fie de forma p=b2-c2, q=2bc, k=b2+c2, cu b, c din Z* și b diferit de +/-c.
Avem în cele din urmă:
X=a2q2k2=>x=+/-aqk=+/-a*2bc*(b2+c2), Y=a2p2k2=>y=+/-apk=+/-a(b2-c2)(b2+c2) şi Z=a2p2q2=>z=+/-apq=+/-a(b2-c2)*2bc. Din nou precizăm că expresiile pentru X şi Y, respectiv x şi y pot fi interschimbate.