Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
586 vizualizari
Ce soluții întregi are ecuația:
1/x^2 + 1/y^2 = 1/z^2 ?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

O infinitate de triplete de forma ( x, y, z ) = ( +/-2abc(b2+c2), +/- a(b4-c4), +/- 2abc(b2-c2) ), unde a,b,c sunt din Z* si b diferit de +/-c. Expresiile pentru x si y pot fi interschimbate.

Pentru a le obţine putem începe prin a rezolva ecuaţia mai simplă 1/X+1/Y=1/Z, unde X=x2, Y=y2 şi Z=z2 cu X, Y, Z din N*. Trecem 1/Z în primul membru, adunăm fracţiile şi va trebui ca numărătorul fracţiei obţinute să fie nul, adică YZ+XZ-XY=0. Înmulţim egalitatea cu -1, adunăm Z2 ambilor membri şi vom ajunge la (X-Z)(Y-Z)=Z2. De aici calculăm X şi Y dintr-un sistem de forma m(X-Z)=nZ şi n(Y-Z)=mZ, unde m, n sunt relativ prime din N* şi Z e considerat momentan un parametru din N*. Obţinem deci X=Z(m+n)/m şi Y=Z(m+n)/n, care vor fi naturale dacă Z=tmn, cu t din N*. Atunci X=tn(m+n), Y=tm(m+n) şi Z=tmn, care trebuie să fie totodată şi pătrate perfecte (x2, y2 şi z2). Ca atare t, m, n şi m+n trebuie să fie (simultan) pătrate perfecte, adică t=a2, m=p2, n=q2 şi m+n=p2+q2=k2, cu a, p, q, k din Z*. Mărimile p, q, k sunt necunoscute întregi ale ecuaţiei pitagoreice p2+q2=k2 şi, după cum se ştie, trebuie să fie de forma p=b2-c2, q=2bc, k=b2+c2, cu b, c din Z* și b diferit de +/-c.

Avem în cele din urmă:

X=a2q2k2=>x=+/-aqk=+/-a*2bc*(b2+c2), Y=a2p2k2=>y=+/-apk=+/-a(b2-c2)(b2+c2) şi Z=a2p2q2=>z=+/-apq=+/-a(b2-c2)*2bc. Din nou precizăm că expresiile pentru X şi Y, respectiv x şi y pot fi interschimbate.

Junior (971 puncte)
selectat de
0 0
Exemplificare: pt. a=1, b=2, c=1 s-ar obține ca soluție (x,y,z) = (20,15,12) sau (15,20,12), oricare și oricâte din necunoscute putând fi și negative. Sper să nu fi pierdut soluții (mizez pe vigilența autorului!)...
0 0
Absenta desavirsita a unei demonstratii nu ma impiedica sa va spun felicitari.
0 plusuri 0 minusuri

prelucrand putin obtinem z^2=x^2y^2/(x^2+y^2) de aici deducem imediat ca 

x^2+y^2 trebuie sa fie patrat perfect adica numere pitagoreice .

Punem x=d(m^2-n^2) si y=2dm^2n^2  .inlocuind obtinem 

z=2d(m2-n2)m2n2/(m2+n2) cum z este intreg si (m,n)=1 rebuie ca numitorul sa divida numaratorul dar m^2 n^2 si m^2+n^2 sunt prime intre ele  si daca 

P divide m^2-n^2 respectiv m^2+n^2 rezulta ca p divide 2n^2 si singura optiune e p divide 2 .Dar m si n prime intre ele inseamna doar m,n impare ca sa avem factori 2 si m2+n2  e de forma 4k+2 deci are doar un factor de 2 care il avem deja sus deci trebuie sa luam d ca fiind (m2+n2)/2 pentru ca fractia sa fie numar intreg si obtinem solutia generala.

Experimentat (2.3k puncte)
...