Problema este dacă pătratul poate include dreptunghiul într-o poziție rotită, alta decît cea banală în care dreptunghiul are laturile paralele cu ale pătratului. Iar răspunsul e nu.
Să înlocuim pătratul P din enunț cu o bandă B, adică un dreptunghi care are aceeași înălțime 1, dar e suficient de lung încît lungimea lui să nu incomodeze încercările noastre de a așeza în el dreptunghiul D din enunț. De cîte ori așezăm dreptunghiul D în bandă, ne uităm cît de mult putem scurta lungimea benzii (prin tăiere tot sub forma unui dreptunghi) încît dreptunghiul D să rămînă în interior. Dacă acea lungime scurtată a lui B este 1 sau mai scurtă, atunci am găsit o poziție în care D intră în pătratul P, deci răspunsul la întrebare devine da. Dacă însă acea lungime nu este 1 sau mai scurtă oricum am așeza dreptunghiul D, atunci răspunsul este nu.
Avem deci banda B de înălțime 1 și lungimea orientată pe orizontală. Așezăm în bandă dreptunghiul D tot cu lungimea pe orizontală și cu două vîrfuri pe latura de jos a benzii. Începem să-l rotim pe D în jurul unuia dintre cele două vîrfuri, să zicem cel din stînga. La fiecare pas al rotirii ne uităm ce lungime de bandă ocupăm. Observăm că inițial prin rotire necesarul de bandă crește începînd de la 1. Continuînd, la un moment dat necesarul de bandă atinge un maxim (atunci cînd o diagonală a lui D devine orizontală) și apoi începe să scadă din nou. Dacă am putea continua cît am vrea, necesarul de bandă ar scădea pînă cînd ar ajunge la 0,5 (cînd dreptunghiul D devine vertical). Dar la un anumit unghi al rotirii vîrful diagonal opus al lui D față de vîrful centru de rotație ajunge la marginea de sus a benzii. Acolo ne oprim.
Întrebarea este dacă există vreo poziție pe acest interval de rotație în care necesarul de bandă are lungimea 1 sau mai puțin. Iar răspunsul e că nu. Atunci cînd vîrful acela s-a lovit de marginea de sus a benzii necesarul de bandă este 1,1 (exact), care e mai mare decît 1. Asta înseamnă că pentru a include în întregime dreptunghiul D avem nevoie de un dreptunghi mai lung decît pătratul P.
Mai rămîne de demonstrat că aceste configurații pe care le-am încercat prin rotire sînt singurele care ar fi avut șanse de succes. Aici se complică puțin problema și deocamdată nu pot demonstra riguros. Am un început de demonstrație, dar e lung de explicat și oricum m-am întins destul.
E interesant ce se întîmplă cînd vîrful acela atinge marginea de sus a benzii. Se creează niște unghiuri frumoase, de exemplu unghiul de rotație are sinusul egal cu 0,6 (exact), iar unghiul dintre o diagonală a lui D și marginile benzii are tangenta egală cu 2 (exact). În plus se formează o serie de triunghiuri dreptunghice ale căror laturi sînt proporționale cu tripletul pitagoreic (3 4 5). De aceea o serie de segmente au lungimi exprimabile prin numere raționale ca 0,3, 0,4, 0,6, 0,8, care fac ca necesarul de bandă să aibă și el o lungime număr rațional: 1,1.
La început n-am crezut că e o problemă frumoasă, pentru că îmi era evident că nu pot roti dreptunghiul suficient ca să intre în pătrat (am folosit un program de desenare și am putut verifica în cîteva secunde), dar în final mi-au plăcut proprietățile geometrice ale figurii care a ieșit.