Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Vf. folderul Spam după înregistrare.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.7k raspunsuri

15.3k comentarii

2.5k utilizatori

0 plusuri 0 minusuri
787 vizualizari
Exista dreptunghiuri de laturi 1 si respectiv 1/2 in interiorul unui patrat de latura 1 ?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
1 0
Mi-e teamă să comentez, pentru că m-am mai fript de cîteva ori comentînd la problemele dumneavoastră. Vreau doar să spun că eu nu înțeleg problema. Adică am înțeles ceva, dar atunci ar fi o problemă prea banală, deci probabil greșesc undeva.
0 0

Am mentinut enuntul intrebarii  - tot mostenita de la bunicu - pentru simplitatea si frumusetea lui, gindind ca solutia evidenta (multumesc Ogen George) este prea ...evidenta. Sint sigura ca intrebarea se refera la posibilitatea existentei a cel putin unui dreptunghi de 1, 1/2 oblic, strimb, cu laturile neparalele cu cele ale patratului si pozitionat in interiorul acestuia. Poate gresesc eu pe undeva si-mi scapa o solutie banala, situatie pe care nu mi-o doresc.

Ca sa inchei dupa cum ati inceput: ha3 (daca v-am introdus teama in oase, o portie generoasa de Highland Park va face neinfricat.

 

 

0 0
Cu noua precizare că laturile dreptunghiului nu sînt paralele cu ale pătratului problema e mult mai clară și de fapt se schimbă radical, încît răspunsul meu trece de la da la nu.

3 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Mai dau o soluție, care de data asta acoperă toate situațiile posibile și e mai simplă.

Considerăm că pătratul este orientat cu laturile paralele cu axele Ox și Oy ale unui sistem cartezian. Poziția lui în plan nu e fixă, dar orientarea da, iar asta nu restrînge generalitatea.

Oricum am pune dreptunghiul în același plan, el are în mod necesar o anumită orientare. Fie a unghiul dintre lungimea dreptunghiului și axa Ox, măsurat în sens trigonometric. Tot fără a restrînge generalitatea, intervalul de valori ale lui a este [0, 90°], în afara căruia configurațiile se repetă prin simetrie și periodicitate. (De fapt generalitatea nu se restrînge nici dacă luăm doar intervalul [0, 45°], dar mi-e puțin lene să explic de ce.) Completarea la enunțul problemei spune că a nu poate fi nici 0 și nici 90°, deci ne rămîne intervalul deschis (0, 90°). Voi demonstra că orice valoare ar lua a în acest interval, nu există nici un pătrat de latură 1 care să includă dreptunghiul.

Pentru aceasta calculez, la fiecare valoare a lui a, care este dimensiunea pe orizontală a dreptunghiului rotit, adică distanța de la abscisa minimă a punctelor din dreptunghi (abscisa vîrfului aflat cel mai în stînga) pînă la abscisa maximă (a vîrfului cel mai din dreapta). Pentru ca dreptunghiul să intre în pătrat, această dimensiune trebuie să fie maximum 1. La fel calculez și dimensiunea pe verticală, care trebuie să fie și ea maximum 1. Notez aceste dimensiuni cu x și y. Formulele sînt următoarele:

x = 0,5*sin(a) + 1,0*cos(a)
y = 1,0*sin(a) + 0,5*cos(a)
unde 0,5 și 1,0 reprezintă lungimile laturilor.

E util să facem un grafic al celor două funcții. Căutăm valorile lui a pentru care x și y sînt simultan cel mult egale cu 1. Numai atunci am putea desena în planul xOy un pătrat de latură 1, cu laturile paralele cu axele, care să includă dreptunghiul.

Ia să vedem. Funcția x(a) are valori sub 1 numai cînd a este în intervalul de la circa 53,1° pînă la 90°. Pe de altă parte, funcția y(a) ia valori sub 1 numai pentru a de la 0 la 36,9°.

Intersecția celor două intervale e vidă. Așadar nu există nici o valoare a unghiului a pentru care extinderea pe orizontală și pe verticală să fie simultan maximum 1. Ca urmare dreptunghiul nu poate fi inclus în pătrat indiferent care ar fi orientarea lor relativă.

Dacă în schimb am putea pune dreptunghiul cu laturile paralele cu axele, atunci ar exista valorile a = 0 și a = 90° pentru care x și y sînt simultan cel mult 1, caz în care ar ieși soluțiile banale.

Valoarea de 53,1° de mai sus este mai precis 2*arctg(1/2), iar 36,9° este unghiul complementar.

Expert (12.8k puncte)
selectat de
0 0
Felicitări! Ați găsit calea potrivită pentru un răspuns ușor de dat dar mai greu de argumentat.
0 0
Mulțumesc. Dar nu-mi dau seama ce-ar mai fi de argumentat. Credeam că am pus în răspuns tot ce trebuia pentru o demonstrație completă (de data asta).
0 0

Răspunsul era, cel puțin pentru mine, ușor de dat: dreptunghiul înclinat față de pătrat nu încape în pătrat. Argumentația însă, iarăși cel puțin pentru mine, era dificil de formulat.

Dumneavoastră ați formulat-o complet, ați găsit calea potrivită, și de aici felicitările. 

Răspuns ușor de dat dar mai greu de argumentat sunt opiniile mele cu privire la posibile răspunsuri la această întrebare, nu cu privire la răspunsul dumneavoastră pe care îl apreciez.

0 0
Scurt pe sqrt(5)/2 : remarcabila solutie.
0 0
Puiu, scuze, eu pricep mai greu. :-)

Gheorghița, mulțumesc.
0 plusuri 0 minusuri
da, dreptunghiurile impreunate fac patratul.
Novice (161 puncte)
1 plus 0 minusuri
Problema este dacă pătratul poate include dreptunghiul într-o poziție rotită, alta decît cea banală în care dreptunghiul are laturile paralele cu ale pătratului. Iar răspunsul e nu.

Să înlocuim pătratul P din enunț cu o bandă B, adică un dreptunghi care are aceeași înălțime 1, dar e suficient de lung încît lungimea lui să nu incomodeze încercările noastre de a așeza în el dreptunghiul D din enunț. De cîte ori așezăm dreptunghiul D în bandă, ne uităm cît de mult putem scurta lungimea benzii (prin tăiere tot sub forma unui dreptunghi) încît dreptunghiul D să rămînă în interior. Dacă acea lungime scurtată a lui B este 1 sau mai scurtă, atunci am găsit o poziție în care D intră în pătratul P, deci răspunsul la întrebare devine da. Dacă însă acea lungime nu este 1 sau mai scurtă oricum am așeza dreptunghiul D, atunci răspunsul este nu.

Avem deci banda B de înălțime 1 și lungimea orientată pe orizontală. Așezăm în bandă dreptunghiul D tot cu lungimea pe orizontală și cu două vîrfuri pe latura de jos a benzii. Începem să-l rotim pe D în jurul unuia dintre cele două vîrfuri, să zicem cel din stînga. La fiecare pas al rotirii ne uităm ce lungime de bandă ocupăm. Observăm că inițial prin rotire necesarul de bandă crește începînd de la 1. Continuînd, la un moment dat necesarul de bandă atinge un maxim (atunci cînd o diagonală a lui D devine orizontală) și apoi începe să scadă din nou. Dacă am putea continua cît am vrea, necesarul de bandă ar scădea pînă cînd ar ajunge la 0,5 (cînd dreptunghiul D devine vertical). Dar la un anumit unghi al rotirii vîrful diagonal opus al lui D față de vîrful centru de rotație ajunge la marginea de sus a benzii. Acolo ne oprim.

Întrebarea este dacă există vreo poziție pe acest interval de rotație în care necesarul de bandă are lungimea 1 sau mai puțin. Iar răspunsul e că nu. Atunci cînd vîrful acela s-a lovit de marginea de sus a benzii necesarul de bandă este 1,1 (exact), care e mai mare decît 1. Asta înseamnă că pentru a include în întregime dreptunghiul D avem nevoie de un dreptunghi mai lung decît pătratul P.

Mai rămîne de demonstrat că aceste configurații pe care le-am încercat prin rotire sînt singurele care ar fi avut șanse de succes. Aici se complică puțin problema și deocamdată nu pot demonstra riguros. Am un început de demonstrație, dar e lung de explicat și oricum m-am întins destul.

E interesant ce se întîmplă cînd vîrful acela atinge marginea de sus a benzii. Se creează niște unghiuri frumoase, de exemplu unghiul de rotație are sinusul egal cu 0,6 (exact), iar unghiul dintre o diagonală a lui D și marginile benzii are tangenta egală cu 2 (exact). În plus se formează o serie de triunghiuri dreptunghice ale căror laturi sînt proporționale cu tripletul pitagoreic (3 4 5). De aceea o serie de segmente au lungimi exprimabile prin numere raționale ca 0,3, 0,4, 0,6, 0,8, care fac ca necesarul de bandă să aibă și el o lungime număr rațional: 1,1.

La început n-am crezut că e o problemă frumoasă, pentru că îmi era evident că nu pot roti dreptunghiul suficient ca să intre în pătrat (am folosit un program de desenare și am putut verifica în cîteva secunde), dar în final mi-au plăcut proprietățile geometrice ale figurii care a ieșit.
Expert (12.8k puncte)
0 0
Am uitat sa va spun multumesc. Ati descoperit proprietati interesante si desene placute ochilor.
0 0
Bravo pentru incercarea de solutie plina de logica si imaginatie, totodata neobisnuita pentru mine - eu pur si simplu am pus D in P si m-am pus pe calcule. Inca sint mahmura de la ele.
 Cu greu mi-am dat seama ce ma nemultumeste:
- explicatiile matematice despre micsorare/marire si implicit legatura dintre variatia dimensiunilor D.
- daca D aflat intr-o oarecare pozitie nu se inscrie intr-un anume P, nu inseamna ca nu se poate inscrie intr-un P orientat altfel.
...