Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
1.7k vizualizari

O elipsă are focarele F1 și F2. Se ia un punct T pe tangenta la elipsă desenată prin una din extremitățile axei mici. Demonstrați că a doua tangentă dusă din T la elipsă este tangentă și cercului TF1F2?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Desenul este astfel:

Axa mare a elipsei este orizontală. Tangenta este la capătul de sus al axei mici în punctul M și este, evident, paralelă cu axa mare. Focarele sunt Fși Fnotate de la stânga la dreapta. Punctul T se află în dreapta elipsei, suficient de departe astfel încât a doua tangentă să atingă elipsa sub axa mare în S.

 

Pentru construcția cercului care trece prin focare și prin T ducem perpendiculare bisectoare pe segmentele F1FșiF2T. Ele se întâlnesc deasupra elipsei, pe prelungirea axei mici în punctul O care este centrul cercului. Notăm piciorul perpendicularei bisectoare a segmentului F2T cu Pși unim O cu F2.

Observăm că unghiul TF1F2, cu vârful pe cerc, subîntinde arcul F2T al cercului construit și este deci jumătate din unghiul la centru F2OT de unde egalitatea unghiurilor

TF1F2 = TOP.

Dar TF1F2 = MTF1 (alterne interne), rezultă MTF1 = TOP.

O proprietate demonstrată a elipsei este aceea că, dacă punctul de concurență a două tangente e unit cu cele două focare, se formează (cu notația mea) unghiurile egale MTF1 și F2TS. Demonstrația nu e neapărat banală, dar nici deosebit de grea.

Dacă MTF1 = F2TS = TOP și cum unghiul OTP este complementar cu unghiul TOP în triunghiul dreptunghic POT, atunci OTP este complementar și cu F2TS ,adică unghiul OTS = OTP + F2TS = 90o.

Cum OT e rază a cercului cu centrul în O, rezultă că ST este tangentă în T la cerc. 

 

 

Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 0
Foarte frumoasă demonstrația, felicitări! Nu știam de proprietatea aceea a tangentelor la elipsă.
0 0
A, ba da, o știam, dar nu m-a dus mintea că e același lucru. E o chestiune elementară în optică proprietatea elipselor că dacă pui o sursă luminoasă într-unul din focare și lumina se reflectă pe partea interioară a elipsei, atunci lumina reflectată se adună în celălalt focar. Asta se întîmplă tocmai datorită egalității celor două unghiuri.
0 0
Dati o bucatica din coronita lui Poncelet sau mai bine nu?
0 0
O păstrez doar pentru mine, nu am motive să o împart. Și vreau s-o port și la serbare -)
...