Analizăm un vârf al poligonului notat cu C.
Din acest vârf ducem câte o perpendiculară pe fiecare din cele două laturi adiacente, de lungime d, spre exterior. Cele două perpendiculare formează între ele unghiul ai. Notăm cu bi unghiul corespunzător vîrfului C al poligonului. Notăm laturile poligonului cu li unde i ia valori de la 1 la n care e numărul laturilor. Observăm că între cele două unghiuri există relația
ai = pi - bi
Pentru ca distanța dintre C și marginea apelor teritoriale din zona aflată între cele două perpendiculare să fie d, limita lor trebuie să fie un arc de cerc cu raza d subîntins de unghiul ai.
Se vede că la fiecare vârf al unui poligon de n laturi, ariei formate din dreptunghiuri de lungime li și înălțime d se adaugă un sector de cerc de rază d și unghi ai. Calculăm suma unghiurilor ai.
Sum(ai) = sum( pi - bi ) = n*pi - sum(bi) = n*pi - (n - 2)*pi = 2*pi (am aplicat formula care dă suma unghiurilor unui poligon convex de n laturi, s=(n-2)*pi).
Prin urmare, în zonele vârfurilor, apele teritoriale au forma unor sectoare de cerc ale căror unghiuri însumate formează un cerc de rază d.
Ariei formate din dreptunghiuri de forma d*li care dau în total d*p i se adaugă suma ariilor unor sectoare de cerc egală cu aria unui cerc de rază d, adică
A = d*p + pi*d2.
Analog, la marginea apelor teritoriale, perimetrului p i se adauga arce de cerc care însumate au lungimea unui cerc de rază d, adică
L = p + 2*pi*d