Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

2 plusuri 0 minusuri
442 vizualizari
Are formă de poligon convex de perimetru p iar apele ei teritoriale se întind până la distanța d de țărm. Ce suprafață (A) au aceste ape și care este lungimea (L) a curbei care le delimitează?
Junior (971 puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

6 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Analizăm un vârf al poligonului notat cu C.

Din acest vârf ducem câte o perpendiculară pe fiecare din cele două laturi adiacente, de lungime d, spre exterior. Cele două perpendiculare formează între ele unghiul ai. Notăm cu bi unghiul corespunzător vîrfului C al poligonului. Notăm laturile poligonului cu lunde i ia valori de la 1 la n care e numărul laturilor. Observăm că între cele două unghiuri există relația

ai = pi - bi

Pentru ca distanța dintre C și marginea apelor teritoriale din zona aflată între cele două perpendiculare să fie d, limita lor trebuie să fie un arc de cerc cu raza d subîntins de unghiul ai. 

Se vede că la fiecare vârf al unui poligon de n laturi, ariei formate din dreptunghiuri de lungime li și înălțime d se adaugă un sector de cerc de rază d și unghi ai. Calculăm suma unghiurilor ai.

Sum(ai) = sum( pi - bi ) = n*pi - sum(bi) = n*pi - (n - 2)*pi = 2*pi (am aplicat formula care dă suma unghiurilor unui poligon convex de n laturi, s=(n-2)*pi).

Prin urmare, în zonele vârfurilor, apele teritoriale au forma unor sectoare de cerc ale căror unghiuri însumate formează un cerc de rază d.

Ariei formate din dreptunghiuri de forma d*li care dau în total d*p i se adaugă suma ariilor unor sectoare de cerc egală cu aria unui cerc de rază d, adică

A = d*p + pi*d2.

Analog, la marginea apelor teritoriale, perimetrului p i se adauga arce de cerc care însumate au lungimea unui cerc de rază d, adică

L = p + 2*pi*d

 

Senior (6.6k puncte)
1 plus 0 minusuri
Se poate si mai simplu. Apele teritoriale au in total suma  ariei dreptunghiurilor lipite de fiecare latura, adica p*d plus suma sectoarelor de cerc de la colturi, adica aria unui cerc cu raza d. Perimetrul apelor teritoriale este suma perimetrelor poligonului p si a cercului cu raza d.
Junior (817 puncte)
1 0
Păi nu e mai simplu, ci aceeași concluzie dar dată fără demonstrație.
...