Observam ca o solutie banala precum n=0 sau 1 nu conduce la un patrat perfect.Acum,vom arata ca pentru n>=2 ecuatia de forma 4^n+7^n=p^2 nu are solutii.Cum par+impar=impar,inseamna ca p^2 este un patrat perfect impar,deci are forma M8+1.Fie k-numar natural nenul si cazurile:
I)n=2k+1(impar)=>4^n=16^k×4=M8;7^2k=49^k=(48+1)^k=M8+1=>7^n=7^2k+1=7^2k×7=(M8+1)×7=M8+7
Asadar membrul stang al egalitatii este de forma M8+7 in timp ce in dreapta avem M8+1,contradictie.Pentru acest caz nu avem solutii.
II)n=2k=>prelucrand ecuatia=>7^2k=(p-4^k)(p+4^k).Fie d=c.m.m.d.c pentru cei doi factori din membrul drept=>d divide pe fiecare dintre ei=>d divide diferenta lor=>d|2×4^k (1)
Din ecuatia prelucrata si calitatea de c.m.m.d.c. a lui d=>d^2|7^2k<=>d divide 7^k(2).
Din relatiile (1) si (2) rezulta d=1 care implica p-4^k=1 si p+4^k=7^2k.Scazand ultimele 2 ecuatii,obtinem 2×4^k+1=7^2k care nu are solutii deoarece 7^2k>=7×7^k>7×4^k>2×4^k+1.
Deci nu exista n ca solutie pentru ecuatia propusa.
