Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
256 vizualizari

Există n - număr natural pentru care 4n + 7n este un pătrat perfect?

De data asta am exclamat "văleu și văleleu", se pare că am dat de greu. Așa o fi?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Observam ca o solutie banala precum n=0 sau 1 nu conduce la un patrat perfect.Acum,vom arata ca pentru n>=2 ecuatia de forma 4^n+7^n=p^2 nu are solutii.Cum par+impar=impar,inseamna ca p^2 este un patrat perfect impar,deci are forma M8+1.Fie k-numar natural nenul si cazurile:
I)n=2k+1(impar)=>4^n=16^k×4=M8;7^2k=49^k=(48+1)^k=M8+1=>7^n=7^2k+1=7^2k×7=(M8+1)×7=M8+7

Asadar membrul stang al egalitatii este de forma M8+7 in timp ce in dreapta avem M8+1,contradictie.Pentru acest caz nu avem solutii.
II)n=2k=>prelucrand ecuatia=>7^2k=(p-4^k)(p+4^k).Fie d=c.m.m.d.c pentru cei doi factori din membrul drept=>d divide pe fiecare dintre ei=>d divide diferenta lor=>d|2×4^k (1)
Din ecuatia prelucrata si calitatea de c.m.m.d.c. a lui d=>d^2|7^2k<=>d divide 7^k(2).
Din relatiile (1) si (2) rezulta d=1 care implica p-4^k=1 si p+4^k=7^2k.Scazand ultimele 2 ecuatii,obtinem 2×4^k+1=7^2k care nu are solutii deoarece 7^2k>=7×7^k>7×4^k>2×4^k+1.
Deci nu exista n ca solutie pentru ecuatia propusa.
Novice (175 puncte)
selectat de
0 0
Ar fi frumos și să demonstrați "" ca p^2 este un patrat perfect impar,deci are forma M8+1",. Cu prietenie.
1 plus 0 minusuri

o demonstratie rapida vine daca luam restul la impartirea cu 3,sau inelul Z3.

Se remarca rapid ca 4n=M3+1 si 7n=M3+1 de uinde rezulta ca 4n + 7n=M3+2 care nu poate fi patrat perfect deoarece un patrat este ori multiplu de 3 ori M3+1

Experimentat (2.3k puncte)
...