Aveam și eu o soluție dar nu mă mulțumea 100% și de aceea v-o propun doar sub formă de comentariu.
La modul general, avem de comparat nsqrt(n+1) cu (n+1)sqrt(n). Logaritmăm și avem de comparat sqrt(n+1)*ln(n) cu sqrt(n0*ln(n+1), adică ln(n)/sqrt(n) cu ln(n+1)/sqrt(n+1).
Fie f: R+- {0} -> R, f(x) = ln(x)/sqrt(x). Calculăm f'(x)=(2-ln(x))/2xsqrt(x) și vedem că ea are un punct critic pentru 2-ln(x) = 0 deci pentru x = e2. Observăm că acest punct critic este un maxim. Cum e2 = 7,38...., rezultă că pentru x în intervalul (0, 7,38....] funcția e crescătoare, iar pentru x în intervalul [7,38...., infinit) funcția e descrescătoare. Pentru x natural, punctul de maxim cade între 7 și 8, adică valorile pentru care se cere inegalitatea de la pct.2, deci pentru un răspuns riguros tot trebuie făcute socoteli cu calculatorul la final, iar asta e tocmai ce m-a nemulțumit la această soluție. Analiza rămăne totuși interesantă pentru că, odată făcută, știm de exemplu că 12341235 > 12351234.
Soluția dumneavoastră evită operațiile aritmetice în final și de aceea am apreciat-o.
