Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

1 plus 0 minusuri
374 vizualizari

Care dintre următoarele numere este mai mare?

a.   2sqrt(3) sau 3sqrt(2) ?

b.   7sqrt(8) sau 8sqrt(7) ?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica

1 Raspuns

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Punctul a e destul de usor .ridicand ambi termeni la radical din 3 obtinem 8<3sqrt(6) adevarat deoarece partea din dreapta e mai mare ca 9=32

Pentru b).Se va arata ca 7sqrt(8) > 8sqrt(7)  aceasta echivaleaza cu 7sqrt(56) >87

Dar sqrt(56)>7+14/29=217/29.aceasta aproximare am facut-o scriind radicalul sub forma de fractii etajate continue si se scrie sqrt(56)=7+1/(2+1/(14+1/(2+1/(14+1/......

Daca aratam ca 7217/29>87 am rezolvat problema .Adica 731>829 

EEE aici e cu smecherie se face cu inegalitatea lui Bernoulli dar aceasta inegalitate e eficienta la valori mai mari ca 1 si apropiate de 1.

Se scrie 731=(75)67=(16807)67 si 829=287=(214)68=(16384)68

Dar (16807/16384)6=(1+423/16384)6>1+6*423/16384>1+1/7=8/7 si astfel rezulta  inegalitatea  731>829 .

Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0

Aveam și eu o soluție dar nu mă mulțumea 100% și de aceea v-o propun doar sub formă de comentariu.

La modul general, avem de comparat nsqrt(n+1) cu (n+1)sqrt(n). Logaritmăm și avem de comparat  sqrt(n+1)*ln(n) cu sqrt(n0*ln(n+1), adică ln(n)/sqrt(n) cu ln(n+1)/sqrt(n+1).

Fie f: R+- {0} -> R, f(x) = ln(x)/sqrt(x). Calculăm f'(x)=(2-ln(x))/2xsqrt(x) și vedem că ea are un punct critic pentru 2-ln(x) = 0 deci pentru x = e2. Observăm că acest punct critic este un maxim. Cum e2 = 7,38...., rezultă că pentru x în intervalul (0, 7,38....] funcția e crescătoare, iar pentru x în intervalul [7,38...., infinit) funcția e descrescătoare. Pentru x natural, punctul de maxim cade între 7 și 8, adică valorile pentru care se cere inegalitatea de la pct.2, deci pentru un răspuns riguros tot trebuie făcute socoteli cu calculatorul la final, iar asta e tocmai ce m-a nemulțumit la această soluție. Analiza rămăne totuși interesantă pentru că, odată făcută, știm de exemplu că 12341235 > 12351234.

Soluția dumneavoastră evită operațiile aritmetice în final și de aceea am apreciat-o.

0 0
$puiu. Nu vă plac exprimările mele repetitive, dar nu vreau să mă abţin: jos bentiţa în faţa dvs. cu tot cu demonstraţia la care m-am gîndit şi eu, pentru că mi-a trecut prin minte că profesorul verişorilor a vrut de fapt şi în mod perfid o generalizare, care cum putea.
0 0

Expresia jos bentița e o marcă a dumneavoastră și folosirea ei, acolo unde credeți că e cazul nu e o exprimare repetitivă ci o apreciere marca Gheorghița. Mulțumesc.

...