Socoteli cu numere - II

Question

Cum aflaţi cel mai mic număr natural care începe cu cifra 1 şi care are proprietatea că dacă se mută cifra 1 de la începutul la sfirşitul lui, atunci numărul obţinut este de trei ori mai mare decît numărul iniţial?

Comments

O problemă frumoasă. Am rezolvat-o (de data asta nu printr-un progrămel), dar n-am timp acum să scriu soluția.

Answer 1

Uite și soluția mea. Din datele problemei scot ecuația următoare:

1ABC...Z * 3 = ABC...Z1

unde 1, A, B, C... sînt cifrele cu care se scriu cele două numere (în baza 10). Sublinierea trebuie înțeleasă ca bară pusă deasupra.

Notez numărul natural ABC...Z cu x. Atunci ecuația inițială devine:

(10^n + x) * 3 = 10 * x + 1

unde n este un număr natural pe care nu-l cunoaștem încă, dar care vrem să fie cît mai mic, iar zecele din dreapta vine de la faptul că cifrele necunoscute au fost mutate cu o poziție spre rang mai mare.

Desfacem parantezele, regrupăm termenii și rescriem ecuația obținută astfel:

3 * 10^n - 1 = 7 * x

Altfel spus, trebuie să găsim cel mai mic număr de forma 2999...9 care e divizibil cu 7. Luîndu-le la rînd, observăm că primul este numărul 299999, adică pentru n = 5, caz în care x = 42857, deci numărul cerut de problemă este x căruia îi punem cifra 1 în față: 142857. Verificăm și constatăm că respectă condițiile problemei:

142857 * 3 = 428571

(La soluția mea nu-mi place că a trebuit să iau n-urile la rînd. Se putea întîmpla să încerc foarte multe n-uri pînă să găsesc unul bun. N-am o idee mai bună. Același defect îl are și soluția Cristinei Popenta.)

Answer 2

Nr este: 142857. Verificare: 3 * 142857 = 428571.

Solutia: Aleg nr de forma: 1a_na_n-1...a₂a₁a₀ pt ca nu stiu cate cifre are.

3 * 1a_na_n-1...a₂a₁a_{0 =} a_na_n-1...a₂a₁a₀1. 

Se deduce usor ca 3 * a₀ = 1 sau 11 sau 21, deci a₀ = 7.

De asemenea a_n = 3 sau 4 sau 5. (din inmultirile cu 3 ale cifrelor anterioare, plus reportul, iar reportul poate fi 0,1,2)

Avem: 3 * 1a_na_n-1...a₂a₁7 = 1a_na_n-1...a₂a₁71 

Continui deducerea cifrelor pana dau peste un a_n dintre cele posibile: 3,4,5.

Deci: 3 * a₁ + 2 (reportul) = 7 sau 17 sau 27. Rezulta ca a₁=5

Am dat peste o posibila valoare de-a lui a_n. Verificare: 3 * 157 = 471, solutia nu e buna. Continui.

Avem: 3 * 1a_na_n-1...a₂57 = 1a_na_n-1...a₂571

Deci:  3 * a₂ + 1 (reportul) = 5 sau 15 sau 25. Rezulta ca  a₂=8.

Avem: 3 * 1a_na_n-1...a₃857 = 1a_na_n-1...a₃8571.

Deci:  3 * a₃ + 2 (reportul) = 8 sau 18 sau 28. Rezulta ca  a₃=2.

Avem: 3 * 1a_na_n-1...a₄2857 = 1a_na_n-1...a₄28571.

Deci:  3 * a₄ + 0 (reportul) = 2 sau 12 sau 22. Rezulta ca  a₄=4.

Am dat din nou peste o posibila valoare de-a lui a_n. 

Verificare: 3 * 142857 = 428571. 

Deci cel mai mic numar care indeplineste cerintele este: 142857

Comments

Felicitări, personal aveam altă rezolvare.