Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.3k comentarii

2.5k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
286 vizualizari
Cum aflaţi cel mai mic număr natural care începe cu cifra 1 şi care are proprietatea că dacă se mută cifra 1 de la începutul la sfirşitul lui, atunci numărul obţinut este de trei ori mai mare decît numărul iniţial?
Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
0 0
O problemă frumoasă. Am rezolvat-o (de data asta nu printr-un progrămel), dar n-am timp acum să scriu soluția.

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Uite și soluția mea. Din datele problemei scot ecuația următoare:

1ABC...Z * 3 = ABC...Z1

unde 1, A, B, C... sînt cifrele cu care se scriu cele două numere (în baza 10). Sublinierea trebuie înțeleasă ca bară pusă deasupra.

Notez numărul natural ABC...Z cu x. Atunci ecuația inițială devine:

(10^n + x) * 3 = 10 * x + 1

unde n este un număr natural pe care nu-l cunoaștem încă, dar care vrem să fie cît mai mic, iar zecele din dreapta vine de la faptul că cifrele necunoscute au fost mutate cu o poziție spre rang mai mare.

Desfacem parantezele, regrupăm termenii și rescriem ecuația obținută astfel:

3 * 10^n - 1 = 7 * x

Altfel spus, trebuie să găsim cel mai mic număr de forma 2999...9 care e divizibil cu 7. Luîndu-le la rînd, observăm că primul este numărul 299999, adică pentru n = 5, caz în care x = 42857, deci numărul cerut de problemă este x căruia îi punem cifra 1 în față: 142857. Verificăm și constatăm că respectă condițiile problemei:

142857 * 3 = 428571

(La soluția mea nu-mi place că a trebuit să iau n-urile la rînd. Se putea întîmpla să încerc foarte multe n-uri pînă să găsesc unul bun. N-am o idee mai bună. Același defect îl are și soluția Cristinei Popenta.)

Expert (12.8k puncte)
selectat de
3 plusuri 0 minusuri

Nr este: 142857. Verificare: 3 * 142857 = 428571.

Solutia: Aleg nr de forma: 1anan-1...a2a1a0 pt ca nu stiu cate cifre are.

3 * 1anan-1...a2a1a0 = anan-1...a2a1a01. 

Se deduce usor ca 3 * a= 1 sau 11 sau 21, deci a0 = 7.

De asemenea a= 3 sau 4 sau 5. (din inmultirile cu 3 ale cifrelor anterioare, plus reportul, iar reportul poate fi 0,1,2)

Avem: 3 * 1anan-1...a2a17 = 1anan-1...a2a171 

Continui deducerea cifrelor pana dau peste un an dintre cele posibile: 3,4,5.

Deci: 3 * a1 + 2 (reportul) = 7 sau 17 sau 27. Rezulta ca a1=5

Am dat peste o posibila valoare de-a lui an. Verificare: 3 * 157 = 471, solutia nu e buna. Continui.

Avem: 3 * 1anan-1...a257 = 1anan-1...a2571

Deci:  3 * a2 + 1 (reportul) = 5 sau 15 sau 25. Rezulta ca  a2=8.

Avem: 3 * 1anan-1...a3857 = 1anan-1...a38571.

Deci:  3 * a3 + 2 (reportul) = 8 sau 18 sau 28. Rezulta ca  a3=2.

Avem: 3 * 1anan-1...a42857 = 1anan-1...a428571.

Deci:  3 * a4 + 0 (reportul) = 2 sau 12 sau 22. Rezulta ca  a4=4.

Am dat din nou peste o posibila valoare de-a lui an

Verificare: 3 * 142857 = 428571. 

Deci cel mai mic numar care indeplineste cerintele este: 142857

Novice (158 puncte)
0 0
Felicitări, personal aveam altă rezolvare.
...