Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
1.6k vizualizari
După cum știm, drumul cel mai scurt dintre două puncte este segmentul drept care le unește. Dar cu cît se lungește drumul dacă îl trasăm sub forma unui arc de cerc între aceleași două puncte și îi dăm o anumită curbură?

Să zicem că distanța dintre cele două puncte este de 100 m, iar abaterea maximă dintre arcul nostru de cerc și drumul drept este de 2 m. Cu cît este mai lung acest arc de cerc decît segmentul de 100 m?

Pentru cei care vor să-și testeze intuiția geometrică pun și un sondaj în care să alegeți rezultatul numeric care vi se pare cel mai verosimil. Desigur, cei care vor să și răspundă vor trebui să calculeze.
Variante de raspuns:
1000 mm (1 vot, 13%)
300 mm (0 voturi)
100 mm (2 voturi, 25%)
30 mm (2 voturi, 25%)
10 mm (2 voturi, 25%)
3 mm (1 vot, 13%)
1 mm (0 voturi)
Expert (12.8k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Desenăm segmentul AB de lungime l=100 m. Arcul de cerc AB are la mijloc distanța d=2 m față de mijlocul coardei AB.

Construim perpendiculara pe mijlocul coadei în punctul M. Ea intersectează mijlocul arcului în C și se prelungește în jos până întâlnește centrul O al cercului, colinear cu C și M din modul în care am construit figura. Unim O cu A și cu B și observăm că ele sunt raze ale cercului. Fie r lungimea razei. Notăm cu a unghiul COB.

Luând triunghiul MOB, putem scrie:

sina = MB/r = 50/r și

cosa = OM/r = (r - 2)/r

Din (sina)^2 + (cosa)^2 = 1 rezultă (50/r)^2 + ((r-2)/r)^2 = 1.

Rezolvăm ultima ecuație în r. Este o ecuație de gradul 1 deoarece termenii pătratici se reduc iar soluția este r = 626 m.

Introducem r în expresia sina = 50/r și obținem sina = 50/626 de unde rezultă

a = arcsin 50/626 = arcsin 0,079872 = 0,0799572 radiani.

Cunoscând r și a putem determina lungimea arcului CB după formula clasică

L arc = r * a și pentru lungimea întregului arc AB vom avea L(AB) = 2 * r * a

Introducând valorile obținute vom avea lungimea arcului AB

L(AB) = 100,106 m.

Diferența între lungimea arcului de cerc și cea a segmentului AB este deci

100,106 - 100 = 0,106 m = 106 mm.

Rezultă deci că, depinzând de acuratețea aproximațiilor, valoarea acestei diferențe este apropiată de 100 mm.
Senior (6.6k puncte)
editat de
1 0
Felicitări, răspunsul e corect și demonstrația e bună.

Am doar cîteva mici observații:

1. Nu avea rost să calculați sinusul și cosinusul și apoi să aplicați formula sin^2 + cos^2 = 1. Puteați aplica teorema lui Pitagora de la bun început.

2. Vorbiți de o prelungire „în jos”. La mine în figură prelugirea e la dreapta. În explicații trebuie să ne punem în papucii celui care receptează și să ne exprimăm în așa fel încît să nu conteze cum și-a imaginat el orientarea figurii.
1 0

Mulțumesc!

Aveți dreptate cu Pitagora, dar am pus de la început problema în termeni de sin și cos pentru că, oricum, aveam de găsit și valoarea unghiului a.

În ceea ce privește descrierea desenului cu prelungirea în jos, am făcut-o special pentru ca cine reproduce figura să ajungă la o imagine cât mai apropiată de a mea, dacă se poate identică. Descrierea desenului pornește de la segmentul AB care, oricum, este desenat orizontal de 99,(9) % din cei ce ar citi rezolvarea, cu notațiile A și B scrise de la stânga la dreapta.

Dar așa e, puteam să spun că prelungim segmentul pînă la centrul cercului și să las libertatea fiecăruia  să poziționeze figura cum vrea.

1 0
Nu fiți așa sigur de orientarea figurii. Eu am pus segmentul vertical pentru că știam că urmează să trasez un segment și mai lung, spre centrul cercului. Apoi l-am pus vertical și pentru că este o problemă despre parcurgerea unui traseu (de exemplu pe jos), caz în care direcția parcurgerii e spre înainte, nu stînga-dreapta. Dar poate oi fi eu dintre cei 0,(0)% care au desenat altfel...
1 0
Nu m-am îndoit nicio clipă că veți sesiza imediat că prin 99,(9) % am avut în vedere 100 %. A fost o figură de stil :) Știam că există cel puțin o persoană care a desenat segmentul vertical și aceea erați dumneavoastră, așa cum afirmaseți în comentariul anterior. Eu cred că, dintr-un reflex format în cursul studierii geometriei plane, oamenii încep desenele cu drepte orizontale și fac notațiile de la stânga la dreapta. În ce mă privește am obsevat că așa fac, fără să stau pe gânduri. Eventual schimb orientarea doar dacă se crează dificultăți evident inutile.

Ca de obicei, dialogul cu dumneavoastră e plăcut și generator de teme noi și interesante, pornind de la problema de bază.
0 0
''2. Vorbiți de o prelungire „în jos”. La mine în figură prelugirea e la dreapta. În explicații trebuie să ne punem în papucii celui care receptează și să ne exprimăm în așa fel încît să nu conteze cum și-a imaginat el orientarea figurii.''

La tirul cu arcul, acesta se tine aproape vertical, dar la desene geometrice mi se pare mai normal sa incepi de la stanga-sus spre dreapta, asa cum si scriem. Si sagetile de mers inainte sau inapoi la casetele de adrese din browsere, sunt orientate tot orizontal, nu vertical.
1 0
Eu mi-am pus problema asta cînd mergeam pe jos pe o stradă liniștită, fără obstacole și cu mașini foarte rare. M-am întrebat cu cît se lungește drumul dacă în loc să merg drept curbez ușor traiectoria.

De aceea în mod instinctiv am desenat drumul așa cum l-am văzut eu atunci cînd mergeam, adică dinspre mine spre înainte, ceea ce pe hîrtie înseamnă o linie verticală.

În schimb cine vede doar enunțul problemei se gîndește că traseul e străbătut de o altă persoană sau poate interpretează problema pur geometric, fără legătură cu ceva concret. Probabil de-asta l-ați desenat orizontal.

E interesantă influența aceasta a contextului psihic asupra felului în care desenăm o schemă.

De fapt și problema de față e de matematică doar la suprafață. Ce o face interesantă (pentru mine) e aspectul psihologic, și anume faptul că intuiția ne poate înșela. Ni se pare contraintuitiv ca o abatere de 2 m de la traiectorie să lungească drumul numai cu 10 cm. Iar adevărata întrebare e de ce ni se pare contraintuitiv. Dar probabil întrebarea asta e foarte grea.
0 0

  Pt. simplificare, la calculul razei se foloseste doar Pitagora si , abia apoi, se trece la folosirea sin si arcsin. Chiar daca a fost o logica la folosirea formulei sin patrat +cos patrat, nu era nevoie ! 

0 0
am explicat anterior !
0 0

@ Silviu Covaci. Semnalați o greșeală de calcul dar cel care greșește sunteți dumneavoastră. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (am subliniat doiul pe care l-ați pierdut pe drum. Refăcând cu atenție calculul veți obține raza de 626 m.

Formula cu sin pătrat și cos pătrat este chiar teorema lui Pitagora exprimată în cercul trigonometric. Adică, dacă în cazul de față împărțim la r^2 relația care aplică Pitagora în triunghiul MOB , obținem formula cu sin^2 și cos^2. E tot aia. Cum am mai spus, am plecat de la ea pentru că oricum aveam să mă folosesc de o funcție trigonometrică pentru determinarea unghiului a.

Ca să vă parafrazez, când faci mai multe observații decât trebuie, riști să greșești și pierzi și timpul tău și al altora. 

1 0
corect..multumesc...2-ul de la r-2 m-a facut sa "ma fure peisajul" la 2ab !! scuze!!!
0 plusuri 0 minusuri
Problema nu e simpluta deloc.Partea de calcul devine destul de complicata din cauza valorilor si trebuie apelat la calculator cu posibilitatea calcului de arcsin.Variatia intradevar nu e asa de mare,eu am votat.
Experimentat (2.3k puncte)
1 0
În afară de calculul numeric final, toată problema se poate rezolva din formule. Iar cu aproximările potrivite nu e nevoie deloc de calculator.
0 0
Aproximarea se poate face cu dublul ipotenuzei triunghiului cu catea mare de 50 m, iar cea mica de 2 m. Diferenta in acest caz e sub/aproape de10 mm!
1 0

Aproximarea arcului cu două segmente e prea grosieră și aduce erori prea mari. Se poate face în schimb o aproximație mult mai bună, dar nu în forma curbei, ci în calcul (mai exact se poate aproxima sinusul cu unghiul, la unghiuri mici).

Scuze, nu se poate folosi aproximația de care spuneam. Ar ieși că arcul are aceeași lungime cu segmentul, or noi tocmai diferența o căutăm.

...