Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

5 plusuri 0 minusuri
907 vizualizari

Care este suma primilor 40 de termeni ai seriei 1, 6, 7, 13, 20 .......?

Scuze faţă de cei care consideră că pun prea multe întrebări, dar mai nou am o strategie foarte bine definită pe acest site: aceea de a populariza matematica sub orice formă - întrebări dificile sau uşoare.

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
editat de
0 0
e mai greu decat credeam, seria e simplu de gasit: tk = t(k-2)+t(k-1), e un fel de varianta a sirului Fibonacci (sper ca am scris corect), doar ca incepe cu 1, 6, 1+6, 7+6,  .... inca incerc sa gasesc o formula pt termenul tk in functie de t1, t2 si coeficientii lor ca puteri ale lui 2, insa nu prea mi-a iesit, mai caut zilele acestea.. probabil exista deja pe net, insa are si chinul partea lui de frumusete.
0 0
O posibila interpretare ar fi ca e inceputul unei serii de tip Fibonacci si atunci suma se poate calcula dupa acelasi algoritm ca la seria Fibonacci.

Dar evident ca nu e singura posibilitate. E perfect posibil ca toti termenii care urmeaza dupa 20 sa fie 0. Atunci suma va fi 47. Eu prefer interpretarea asta.

Sau ca dupa 20 urmeaza o alternare de 1 si -1. Termenii de ordin par pozitivi si cei de ordin impar negativi.  Deci termenul al 6-lea ar fi 1, al 7-lea -1, etc. Deci primii 40 de termeni ar da o suma de 48, daca nu ma insel.

Se pot gasi si alte "reguli" care sa satisfaca primii 5 termeni dati. De aia aceste probleme sant oarecum o expresie a pretentiei autorului de a presupune ca numai regula lui e "corecta". Mai ales cand sant folosite in asa zisele teste de inteligenta.

Evident ca intr-un manual unde se da problema dupa ce s-au discutat diferite serii celebre, este justificata ca exercitiu.
0 0

adia: termenul general al seriei Fibonacci se poate exprima pe baza numarului "fi", asa zisa sectiune de aur. Nu cred ca poti gasi o expresie in functie de puteri ale lui 2. Dar cine stie?

Uite aici, de exemplu: 

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibFormula.html

 

 

0 0

$ mircea_p: special pentru dvs. precizez că următorul termen al seriei este 33 şi sper că nu veţi mai avea interpretări fanteziste. Ha !

0 0
Nu inteleg din intrebare, vreti sa aflam doar suma ? Pt ca asta e foarte simplu de aflat, sau vreti sa gasim formula pt sirul de mai sus ? La cum ati pus intrebarea mi se pare prea simplu !
0 0

$ Ciprian Constantin: mă repet şi spun că nu am pomenit nicăieri că este o întrebare grea, dar care este răspunsul totuşi? Iarăşi mă repet : cine doreşte probleme dificile sînt prin zonă, de abia aştept un semnal, nu pot de una singură să tot am iniţiative de acest fel pentru că unele persoane ar putea fi iritate.

0 0

$ mircea_p: special pentru dvs. precizez că următorul termen al seriei este 33 şi sper că nu veţi mai avea interpretări fanteziste. Ha !

 

Mi-e teama ca nu m-am facut inteles. Chiar daca precizati inca un milion de termeni, asta nu exclude diferite moduri de a continua seria. In afara de cazul in care se precizeaza de la inceput ca termenii seriei sant dati de o anumita regula. Interpretarile nu sant fanteziste. Fantezista este pretentia ca data fiind o multime finita de data, exista o unica regula sau teorie compatibila cu ele. Din pacate este o conceptie destul de raspandita.

Cum ati precizat ca aveti o strategie de a populariza matematica, ceea ce gasesc foarte laudabil si de admirat, consider ca ar fi bine sa evitati raspandirea conceptiei ca matematica e doar o jonglerie cu niste numere manipulate la intamplare. Partea cea mai importanta in abordarea unei probleme este analiza problemei, a coerentei, a conditiilor expuse sau doar implicate, a completitudinii (sau lipsei ei) datelor si prezumtiilor. Din pacate se pare ca elevii deja vin cu impresia ca rezolvarea unei probleme consta in a lua niste valori date si a le manipula cu tot felul de formule pentru a obtine rezultatul din carte. Nu cred ca e nevoie sa se incurajeze aceasta atitudine prin probleme formulate neglijent sau incomplet. 

Precizati asemanatoare a facut si AdiJapan, la alte probleme, dar din pacate le-ati considerat tot chestii fanteziste, rautacioase sau de rea vointa. 

OK, sper ca mi-am explicat intentia. Nu de a pune bete in roate sau a minimaliza efortul celor care propun probleme. Ci de a invata poate si alte chestii din ele, pe langa operatii matematice cu numere.  Ar mai si altele dar deja mi-am folosit ratia de cuvinte pe astazi.smiley

 

 

5 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Soluția matematică are doi pași.

I. Mai întîi trebuie să știm care sînt termenii șirului. În privința asta enunțul e vag. La o adică putem spune arbitrar că toți termenii care urmează sînt 0, caz în care soluția se găsește pe loc. Nu există în enunț nici o informație care să interzică o astfel de soluție.

Dar hai să ghicim ce a vrut să zică autorul, și anume probabil că șirul trebuie construit după aceeași regulă ca șirul Fibonacci, adică fiecare termen e suma celor doi anteriori.

Să luăm cazul general în care primul număr din șir este a, iar al doilea este b (la noi a = 1 și b = 6). Atunci termenii șirului sînt:

1: a
2: b
3: a+b
4: a+2b
5: 2a+3b
...

Observăm care e regula: pentru orice k>=3, termenul T(k) al șirului nostru se poate scrie sub forma:

T(k) = a F(k-2) + b F(k-1),

unde F(k) este termenul de pe poziția k al șirului Fibonacci clasic, cel definit cu F(1) = 1 și F(2) = 1.

II. După ce am stabilit membrii șirului, calculăm suma primelor n numere (la noi n = 40).

Suma termenilor T(k) cu k de la 1 la n o notăm S(n). Din calcul ne iese că

S(n) = a [1+F(1)+F(2)+...F(n-2)] + b [1+F(2)+...+F(n-1)]

Știm că suma termenilor unui șir Fibonacci se poate calcula astfel:

F(1)+F(2)+...+F(m) = F(m+2)-1   (se poate demonstra)

Aplicînd formula aceasta găsim că suma S(n) pe care o căutăm se poate scrie simplu astfel:

S(n) = a F(n) + b F(n+1) - b

În cazul nostru particular
F(40) = 102334155
F(41) = 165580141

deci S(40) = 1*102334155 + 6*165580141 -6 = 1095814995

Expert (12.7k puncte)
selectat de
0 0
După ce mi-am scris eu răspunsul am observat că a dat și mircea_p o soluție care seamănă bine cu a mea. Scuze că s-a nimerit așa, n-aș fi vrut să-i stric plăcerea.
0 0
Nu mi-ai stricat nici o placere, stai linistit.

Placerea a fost sa regasesc aceste proprietati ale sirului si o metoda de a le folosi pentru gasirea unei solutii.

Am postat-o aici pentru ca mi s-a parut ca facusem cam mult pe carcotasul.
3 plusuri 0 minusuri

Rasp: 1095814995

Am facut un prog scurt de 3 randuri care sa-mi calculeze suma primelor 40 aplicand seria de mai sus. 

Daca imi ceri pt 10000 de termeni pot sa-ti raspund in continuare !

Senior (6.9k puncte)
0 0
Poate am pus eu întrebarea într-un mod nepotrivit şi ar fi trebuit să întreb şi cum se determină această sumă. De curiozitate vă rog să puneţi şi cele 3 rînduri de cod. Mulţumesc pentru răspuns.
0 0
A1=1
A2=6
A3=A2+A1
A40=A39+A38
=SUM(A1:A40)
Totul in excel. Intr-un limbaj de programare ar fi fost mai mult de scris. Intotdeauna aleg programul care ma duce cel mai repede la o solutie.
0 0
Confirm, rezultatul e corect. Eu l-am calculat cu Matlab.
0 0
Dacă confirmaţi dvs. nimeni nu se mai îndoieşte de rezultat, dar încă mai sper că apare cineva cu o soluţie matematică.
1 0
Deci nu trebuie sa va scuzati ca promovati un domeniu interesant care are metode nenumarate de rezolvare. Asta e partea interesanta a matematicii, ca din 20 de elevi se poate ajunge la acelasi rezultat prin 20 de metode.

Partea care ma deranjeaza este ca nu ati dat detalii intrebarii, ati cerut un raspuns si atat !  Daca l-am dat, nu e bine ca nu am bagat si rezolvarea. Daca am bagat rezolvarea nu e bine ca trebuia o rezolvare matematica si nu informatica. Pai e greu din intrebarea dumneavoastra sa ghicesc cu ce mana sa ma scarpin in ureche !
0 0
Scuze. Sper că aţi primit replica mea la mesajul dvs. privat. Din 20 de elevi confruntaţi cu o problemă eu cred că cel puţin 18 o vor da pe aceeaşi, adică nu ştiu rezolvarea.
2 plusuri 0 minusuri

Presupunand ca e un sir construit dupa regula

a[n+2]=a[n]+a[n+1] 

s-ar putea scrie ca suma a doua siruri Fibonacci, inmultite cu niste coeficienti.

Daca luam sirul F1=1,1,2,3,5,8.... si apoi sirul

F2=1,2,3,5,8..... , putem scrie sirul dat ca  -4*F1+5*F2

 Adica

-4*1+5*1 =1

-4*1+5*2=6

-4*2+5*3=7

-4*3+5*5=13

etc. 

De aici mai trebuie doar sa gasim sumele celor doua serii pentru primii 40 de termeni si gata. 

Pentru seria standard, suma primilor n termeni este 

S(n)=F(n+2)-1 

Deci ar trebui sa gasim termenul al 42-lea pentru fiecare sir.

Ceea ce pentru primul sir e termenul al 42-lea pentru sirul F standard.

Pentru a doua serie trebuie doar sa luam suma primilor 41 termeni ai sirului F si sa scadem 1, nu?

Exista o formula pentru termenul general al sirului F dar contine puteri ale unor numere transcendente si nu vad cum se poate calcula fara un computer. Poate gaseste cineva o smecherie dar s-ar putea ca o solutie e baza unor operatii aritmetice cu numere intregi sa nu fie posibila. 

Pe baza formulei generale,

S1=F1(42)-1= 267,914,295

S2=F2(43)-1-1=433,494,435

Si -4*S1+5*S2 = 1,095,814,995 

La fel cu ce se obtine prin sumare directa.:)

Dar asa mai recapitulam sirurile Fibonacci, ceea ce nu e rau.smiley

Junior (870 puncte)
0 0

Am înţeles perfect ceea ce aţi exprimat în toate comentariile şi în acest răspuns. Parţial vă dau dreptate. "Fanteziste" era doar un cuvînt, poate nepotrivit, pentru folosirea căruia îmi cer scuze, remarc că v-a deranjat. V-aţi expus părerea că nu sînteţi amator de probleme de matematică dificile, dar sînteţi expert la dat sfaturi la cum trebuie pusă o problemă. Rămîn recunoscătoare pentru răspuns şi fac cinste cu ce vreţi dvs. pe aeroport. Că tot aţi pomenit de user-ul AdiJapan, am nişte frustrări legate de comentariile şi neimplicarea lui la o întrebare de-a mea de fizică, m-am simţit umilită, cred că-mi voi răspunde singură, deşi am spus că nu mai fac acest lucru.  Cu prietenie...

0 0

Nu m-a deranjat ci m-a delectat. Deci scuzele nu sant necesare. smiley

Nu ma deranjeaza nici ca imi atribuiti afirmatii pe care nu le-am facut. Se mai inatampla sa gresim. Nu am afirmat ca sant expert in ceva. Si nu era vorba de cum se pune o problema ci cum nu ar trebui sa fie pusa. Ceea e cu totul altceva. E mult mai usor sa critici decat sa faci. Nu e nevoie sa fii expert. smiley

Mie inca nu mi-e clar daca problemele le postati pentru a afla raspunsurile sau pentru a da altora oportunitatea sa mai invete ceva. Poate asta explica abtinerea unora de a se implica.

Asta si treaba aia cu problemele care nu sant bine puse, sigur.wink

Sper ca nu am spus nimic care ar implica ca eu am postat cu dusmanie. smiley

 

PS. Sper ca nu s-a introdus inca taxa pe smiley.

0 0

Problemele puse de mine încerc să le rezolv nai întîi de una singură, se mai  întîmplă să le găsesc şi soluţia. Le pun şi pe acest site dacă nu ştiu cum se rezolvă sau pentru a vedea cum gîndesc alte persoane sau pentru că sînt interesante sau pentru ce am spus în enunţul întrebării, în niciun caz pentru ca cineva să mai înveţe ceva pentru că este imposibil acest lucru.

0 0

Inteleg totul in afara de partea de la sfarsit, care incepe cu pasajul in italice. E o gluma? Sau chiar credeti asta?

Sau este iar o neintelegere? De ce in "nici un caz"? Vreti sa popularizati matematica (ca strategie) dar credeti ca e imposibil ca altii sa mai invete ceva? Ar veni ca o faceti "populara" dar doar asa la suprafata, fara ca cineva sa invete ceva din aceasta popularizare?

Sigur, este  evident o afirmatie falsa. Un singur contraexemplu e de ajuns. Eu am invatat formula cu care se obtine termenul general al sirului F, cu acest prilej. Pentru care va multumesc.smiley

 

0 0

Gheorghiţa,

 

eu una învăţ. Chiar dacă puţin, chiar dacă nu atât de des pe cât mi-aş dori smiley

(puţinătatea-i doar din pricina mea)

0 0

$ mircea_p: termenul popularizare pentru mine înseamnă stîrnirea interesului, dacă cineva rămîne cu ceva şi mai ţine minte şi peste o lună acel ceva foarte bine, din proprie experienţă vă spun că dacă interesul nu este stimulat, informaţiile se uită.

1 plus 0 minusuri
Nu am vrut sa raspund la intrebarea asta din cauza ca trebuia apelat la calculator pentru calcul.

@mircea calculul termenilor sirului lui fibonacci nu foloseste numere trascendente ,pe acel site  se explica o metoda de aproximare cu ajutorul numarului fi.

Calculul termenului general se face cu ecuatia caracteristica :

X^2-x-1=0 cu solutiile x1 si x2 si se considera Fn=ax1^n+bx2^n unde a si b se determina din conditiile initiale.

din cauza ca delta =5 in termenul general apare destul de complicat Fn,dar acel termen este intreg lucru cu greu de vazut in prima faza.

Suma termenilor se poate face cu ajutorul termenului general si cu ajutorul sumelor de progresii geometrice ce duce in idee la acelasi rezultat cu al lui adijapan pe care il felicit pentru rezolvare.

Totusi calculand cu aproximatie se obtine rezultatul cerut.
Experimentat (2.3k puncte)
0 0
Asa e, numarul "fi" nu e transcendent.

La el ma gandeam si eu, si la formula de calcul pe baza lui, dar nu destul de atent ca sa realizez ca doar irational saracul, nu transcendent.

Imi cer scuze si de la "fi" si de la cei indusi in eroare de postarea mea neglijenta.

Nu mi-e clar din postul tau daca ai o solutie care nu presupune descompunerea in doua serii Fibonacci. Sau altfel spus, cum se calculeaza termenul general al unei serii generalizate fara a descompune in doua serii standard. Daca exista o astfel de formula. Banuiesc ca se poate aplica acelasi algoritm ca la obtinerea termenului general al seriei standard. Si probabil tot pe baza de "fi" pentru ca raportul termenilor succesivi tinde tot la aceasta valoare. Cel putin pentru seria din OP.
5 plusuri 0 minusuri

Nu e un răspuns nou, ci de fapt o completare (de fapt trei completări) la răspunsul meu de ieri, dar am considerat că e suficient de importantă pentru a o semnala într-un mod mai vizibil.

1. Formulă aproximativă. Ieri am scos „din burtă” numerele de pe pozițiile 40 și 41 ale șirului Fibonacci. Sigur, ele se pot calcula muncitorește, adunînd și iar adunînd (eu le-am luat de pe internet). Dar există o formulă extraordinar de simplă pentru a aproxima șirul Fibonacci, formulă care pentru numere mari are o precizie extraordinar de bună. Formula este cea a unei progresii geometrice:

A(n) = φ^n / sqrt(5),

unde rația φ a progresiei este secțiunea de aur, calculată cu

φ = (1+sqrt(5)) / 2

Raportul dintre două numere Fibonacci consecutive tinde către φ, ceea ce explică de ce apare phi^n în formula de aproximare, iar numitorul face ca la numere n mari raportul A(n) / F(n) să tindă la 1.

Eroarea aproximației, adică diferența A-F, scade foarte repede cu creșterea lui n, și nu scade doar relativ, doar pentru că numerele cresc exponențial, ci scade și absolut. De exemplu cînd n = 10 diferența dintre A și F este de 0,004, iar cînd n = 30 diferența e de ordinul 10^(-7).

Revenind la problemă, dacă în loc de F(40) și F(41) folosim valorile aproximative A(40) și A(41) obținem rezultatul:

S(40) = 1095814994.999999994707...

care are față de rezultatul exact o eroare de circa 5*10^(-9). Cred că în toate aplicațiile practice o astfel de eroare e cu totul neglijabilă.

2. Rotunjiri. Eroarea dată de A(n) este de fapt întotdeauna sub 0,5, oricare ar fi n, inclusiv la valori foarte mici. Dar știm că F(n) este un număr întotdeauna întreg. Asta înseamnă că e suficient să calculăm A(n) și să rotunjum la cel mai apropiat întreg și astfel obținem valoarea exactă a lui F(n). Cu observația asta rezultatul la problema noastră se poate calcula exact, prin rotunjiri:

S(40) = 1095814995

3. Iar acum bomba pe care unii probabil o așteptau deja: nici nu e nevoie să facem aproximații sau rotunjiri. Există o formulă exactă care dă valoarea oricărui număr din șirul Fibonacci fără a fi nevoie să le calculăm pe toate cele anterioare. Iată formula:

F(n) = (φ^n - (-φ)^(-n)) / sqrt(5)

Observați că termenul cu multe minusuri de la numărător funcționează ca o corecție față de A(n), iar corecția descrește rapid cu n. Folosind formula asta exactă obținem bineînțeles din nou valoarea exactă a lui S(40): 1095814995.

(Scuze din nou lui mircea_p, care de fapt știe lucrurile astea, și tuturor celor care nu au aflat nimic din răspunsul meu.)

Expert (12.7k puncte)
editat de
1 0

Din nou, nu ai de ce sa iti ceri scuze. Mai ales mie. Doar nu m-ai jignit cu nimic.

Chiar daca as fi stiut tot ce ai scris, ce importanta are? Doar nu scrii pentru mine, cu dedicatie. Si nici pentru cei care stiu ci pentru cei care nu. Si eu am aflat lucrurile astea de la altii care au scris pentru cei care nu stiau, cum eram si eu atunci cand am citit. Daca toti autorii ar avea acelasi scrupule unde am ajunge?smiley

De fapt am aflat, atat de la tine cat si de la Zec, ca se poate folosi formula aproximativa cu o eroare destul de mica chiar si la valori mici ale numarului de termeni. Ceva la care nu ma gandisem. Si care mi se pare interesant. Chiar daca nu vad valoarea practica prea bine. Poate doar daca poti calcula (fi)^n in minte. Altfel, computerului ce-i pasa ca e un termen sau doi.smiley

...