Presupunand ca e un sir construit dupa regula
a[n+2]=a[n]+a[n+1]
s-ar putea scrie ca suma a doua siruri Fibonacci, inmultite cu niste coeficienti.
Daca luam sirul F1=1,1,2,3,5,8.... si apoi sirul
F2=1,2,3,5,8..... , putem scrie sirul dat ca -4*F1+5*F2
Adica
-4*1+5*1 =1
-4*1+5*2=6
-4*2+5*3=7
-4*3+5*5=13
etc.
De aici mai trebuie doar sa gasim sumele celor doua serii pentru primii 40 de termeni si gata.
Pentru seria standard, suma primilor n termeni este
S(n)=F(n+2)-1
Deci ar trebui sa gasim termenul al 42-lea pentru fiecare sir.
Ceea ce pentru primul sir e termenul al 42-lea pentru sirul F standard.
Pentru a doua serie trebuie doar sa luam suma primilor 41 termeni ai sirului F si sa scadem 1, nu?
Exista o formula pentru termenul general al sirului F dar contine puteri ale unor numere transcendente si nu vad cum se poate calcula fara un computer. Poate gaseste cineva o smecherie dar s-ar putea ca o solutie e baza unor operatii aritmetice cu numere intregi sa nu fie posibila.
Pe baza formulei generale,
S1=F1(42)-1= 267,914,295
S2=F2(43)-1-1=433,494,435
Si -4*S1+5*S2 = 1,095,814,995
La fel cu ce se obtine prin sumare directa.:)
Dar asa mai recapitulam sirurile Fibonacci, ceea ce nu e rau.