Salut !
Imi amintesc vag matematica din liceu, cel mai bine imi amintesc ca eu si un coleg umblam dupa proful de mate sa-l aruncam intr-o adanca piscina fara apa. N-am dus planul la indeplinire, dar altii mai dibaci i-au publicat numele la rubrica de anunturi mortuare, altii l-au sunat noaptea sa-i zica ca a murit fiu-su, etc.
Pentru simplificare, notez z=2^x (=> z>=1), expresia devine : 2z^2+z+1=y^2. Se stie ca in astfel de cazuri trebuie sa fortam o descompunere in produs de factori.
Inmultesc cu 8 ca sa formez un patrat perfect : 16z^2+8z+8=8y^2 <=>
(4z+1)^2 +7 = 8y^2
Pentru simplificare, notez u=4z+1 (=> u>=5), expresia devine: u^2 +7 = 8y^2, acum fortam o diferenta de patrate : u^2-y^2=7(y^2-1) <=> (u+y)(u-y)=7(y^2-1)
Acum, prin identificarea termenilor (cred ca pe aici pierd solutii, caci ar trebui sa fie factori primi), se formeaza 4 variante de sisteme de ecuatii, cand termenul (u+v)= pe rand cu 1, 7, (y^2-1) si 7(y^2-1) si respectiv (u-v) in tandem. Se rezolva de fiecare data ecuatiile de gradul 2, in doua cazuri "delta" nu este patrat perfect si nu obtinem solutii intregi, iar din celelalte 2 cazuri obtinem perechea de solutii (u,y) = (5,2), (5,-2), (11, 4), (11,-4) valide conform conditilor.
Acum revenim spre notatiile initiale: din u=4z+1 ne convine numai solutia u=5, pentru ca z sa ramana intreg, deci avem perechea de solutii (z, y) = (1,-2), (1,2).
Din notatia initiala z=2^x rezulta perechile de solutii (x,y)= (0,-2) si (0,2)