Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

4 plusuri 0 minusuri
462 vizualizari
Determinati toate perechile (x, y) de numere intregi astfel incat
1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2
Junior (413 puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

4 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Deşi sînt puţin nesigură încerc o soluţie:
Scriu 2^x ( 2^ ( x+1 ) + 1 ) = (y -1) (y +1).
Dar mai întîi stabilesc: notînd y = 2p+1 pentru că y este un număr impar => 1 + 2^x ( 2^ ( x+1 ) + 1 ) = 4p^2 + 4p +1 = 4p( p+1 ) +1 => 2^x * (....impar...) = 4p( p+1 ) = multiplu de 8 pentru că p şi p+1 sînt numere consecutive. Rezultă că x >=3, condiţie esenţială pentru finalizarea problemei.
Putem spune că  2^x * ( 2^ ( x+1 ) + 1 )  se scrie şi ca produsul a unui număr par ( care este putere a lui 2) şi al doilea impar dar şi ca produsul a două numere pare, rezultă că y-1 sau y+1 se divide cu 2^(x-1) => (y-1) sau (y +1) = t*2^(x-1) şi pentru că produsul 2^x ( 2^ ( x+1 ) + 1 )  are un termen impar deducem că t este impar. Există deci două posibilităţi :
 
1. y-1 = t*2^(x-1) =>  (y -1) (y +1)= t*2^(x-1) * (t*2^(x-1) +2). Înlocuind în formula din rîndul 2 şi divizînd cu 2^x obţinem după aranjarea termenilor ( doar nu o scriu şi pe asta ) 1-t = 2^(x-2) * ( t^2 -2^3) ceea ce este imposibil pentru că stînga este negativă şi dreapta pozitivă.
 
2. y+1 =  t*2^(x-1) =>  (y -1) (y +1)= t*2^(x-1) * (t*2^(x-1) -2). Înlocuind în formula din rîndul 2  şi divizînd cu 2^x obţinem după aranjarea termenilor t+1 = 2^(x-2) * ( t^2 -2^3). Sare în ochi discrepanţa dintre mărimea termenului din stînga şi a celui din dreapta care conţine şi o putere a lui 2. Ţinînd cont de faptul stabilit iniţial că x>=3 rezultă t+1 >= 2*( t^2 -2^3) => t * ( 2t -1 ) =< 17. Dar t este impar, şi se vede din ochi că singurele soluţii sînt t = 1 şi t = 3. Dar t = 1 nu satisface  t+1 = 2^(x-2) * ( t^2 -2^3) deci rămîne t = 3. Din t+1 = 2^(x-2) * ( t^2 -2^3)  => 4 = 2^(x-2) * (9 -8) => 2^x = 16 => x= 4 => soluţiile sînt x = 4 şi y = 23 sau x= 4 şi y = -23 ( era să-mi scape ultima).
Revin ca să vă spun că am crezut că sînt soluţii mult mai simple pe care le-am încercat şi s-au dovedit aşa de simple că nu am ajuns nicăieri, doar m-au ajutat la aflarea altor două soluţii pe care ar fi trebuit să le descopăr din priviri. Deci rectific: se adaugă şi soluţiile x= 0 , y= 2 şi x= 0, y= -2.
Experimentat (4.8k puncte)
selectat de
1 0
Va multumesc pentru raspuns. Intr-adevar prin solutia propusa de dvs. am mai descoperit inca doua solutii (pe (0,2) si (0,-2) le descoperisem doar aruncand un ochi peste problema). Si totusi, intrebarea mea este daca nu cumva mai sunt si alte solutii sau doar (0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23) sunt unicele solutii?
0 0
Reverificînd demonstraţia mea, consider că este exclusă existenţa altor soluţii, dar nu se ştie niciodată.
0 plusuri 0 minusuri
Salut !

Imi amintesc vag matematica din liceu, cel mai bine imi amintesc ca eu si un coleg umblam dupa proful de mate sa-l aruncam intr-o adanca piscina fara apa. N-am dus planul la indeplinire, dar altii mai dibaci i-au publicat numele la rubrica de anunturi mortuare, altii l-au sunat noaptea sa-i zica ca a murit fiu-su, etc.

Pentru simplificare, notez z=2^x (=> z>=1), expresia devine : 2z^2+z+1=y^2. Se stie ca in astfel de cazuri trebuie sa fortam o descompunere in produs de factori.

Inmultesc cu 8 ca sa formez un patrat perfect : 16z^2+8z+8=8y^2 <=>

(4z+1)^2 +7 = 8y^2

Pentru simplificare, notez u=4z+1 (=> u>=5), expresia devine: u^2 +7 = 8y^2, acum fortam o diferenta de patrate : u^2-y^2=7(y^2-1) <=> (u+y)(u-y)=7(y^2-1)

Acum, prin identificarea termenilor (cred ca pe aici pierd solutii, caci ar trebui sa fie factori primi), se formeaza 4 variante de sisteme de ecuatii, cand termenul (u+v)= pe rand cu 1, 7, (y^2-1) si 7(y^2-1) si respectiv (u-v) in tandem. Se rezolva de fiecare data ecuatiile de gradul 2, in doua cazuri "delta" nu este patrat perfect si nu obtinem solutii intregi, iar din celelalte 2 cazuri obtinem perechea de solutii (u,y) = (5,2), (5,-2), (11, 4), (11,-4) valide conform conditilor.

Acum revenim spre notatiile initiale: din u=4z+1 ne convine numai solutia u=5, pentru ca z sa ramana intreg, deci avem perechea de solutii (z, y) = (1,-2), (1,2).

Din notatia initiala z=2^x rezulta perechile de solutii (x,y)= (0,-2) si (0,2)
Senior (8.7k puncte)
editat de
...