1. Cazul în care n e număr prim e evident. Divizorii lui sunt n și 1 iar suma lor, n + 1 este divizibilă cu 24 conform ipotezei.
2. Pentru n neprim, fie m și p doi divzori ai lui n, cu proprietatea că n = mp.
n = 24k - 1 sau, conform cu notația făcută, mp = 24k - 1. (1)
Observăm că mp și 24k sunt prime între ele, deci și m cu 24k și p cu 24k sunt prime între ele. De aici rezultă că nici m nici p nu se divid cu divizorii lui 24k, adică 2, 3, 4, 6, 8, k, multipli sau puteri ai acestora. Rescriem (1) astfel:
m^2 + mp = 24k + m^2 - 1 sau
m(m + n) = 24k + (m + 1)(m - 1). (2)
Cum am stabilit deja, m nu divide 24k și, în mod evident, m nu divide nici m + 1 nici m - 1, deci nici produsul lor, (m + 1)(m - 1). Acest produs are următoarele proprietăți:
Deoarece m e impar, (m + 1)(m - 1) e produsul a două numere pare consecutive care e totdeauna divizibil cu 8, deoarece, în general, 2q(2q + 2) = 4q(q + 1), iar membrul 2 e divizibil cu 8 pentru că ori q ori q + 1 trebuie să fie par.
Observația că m nu se divide cu 3 conduce vizibil la concluzia că ori (m + 1) ori (m - 1) se divide cu 3, deci produsul (m + 1)(m - 1) se divide cu 3.
Dacă (m + 1)(m - 1) e divizibil și cu 8 și cu 3, atunci e divizibil cu 24 și putem nota (m + 1)(m - 1) = 24r, iar (2) devine:
m(m + p) = 24k + 24r = 24(k + r). (3)
Cu observația făcută deja că m nu divide nici 24k nici 24r deci nici 24(k+r) rămâne că m + p este divizibil cu 24, adică suma divizorilor lui n e divizibilă cu 24.
Editare:
E corectă observația lui mircea_p referitoare la numărul de divizori. Soluția dată de mine funcționează indiscutabil pentru doi divizori ai lui n (in afară de n și 1).
Pentru 3 divizori nu funcționeaza și fără nicio altă demonstrație am găsit un contraexemplu:
24*6 242 361= 149 816 664
149 816 664 - 1 = 149 816 663 care se descompune în factorii 37*709*5711. Suma acestori factori este impară și nu se divide cu 24. Nici dacă adunăm 1 și numărul însuși nu obținem un multiplu de 24 pentru că rezultatul rămâne impar și nici dacă îi grupăm cum am sugerat eu în răspuns. Așa că acei divizori botezați de mine d1, d2,...,di, sunt de fapt 2 factori, m și p.
De fapt răspunsul meu conține soluția, dar era nevoie de unele observații și precizări clarificatoare.
Observația este că nu există niciun un divizor d care, înmulțit cu el însuși, să dea n. Aceasta rezultă din raționamentul prin care am ajuns la relația (3). Ipoteza că d există conduce la concluzia absurdă că d e par.
De aici rezultă că n are un număr par de divizori și că toți divizorii lui n pot fi grupați în dublete de forma (mi, pi), cu mi diferit de pi, cu proprietatea că mi*pi = n.
Am demonstrat deja că, pentru orice dublet de divizori (mi, pi) , 24 divide mi + pi, deci 24 divide suma tuturor (mi + pi), adică 24 divide suma tuturor divizorilor lui n.
Mi se pare interesantă și concluzia la care am ajuns în cursul rezolvării, aceea că n, așa cum e construit prin ipoteză, nu poate fi pătrat perfect.