Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
Pune o întrebare

Newsletter


3.5k intrebari

6.7k raspunsuri

15.2k comentarii

2.2k utilizatori

3 plusuri 0 minusuri
599 vizualizari

Pentru oricare număr n care este întreg şi pozitiv şi are proprietatea că n+1 este divizibil cu 24, s-ar putea demonstra că suma divizorilor lui n este divizibilă cu 24?

Experimentat (4.8k puncte) in categoria Matematica
editat de
1 0

Să vă critic enunțul? Să nu vi-l critic? Deja mi-e teamă.

Probabil problema vrea să ceară să demonstrăm că la orice n natural de forma 24*k - 1 suma divizorilor lui e divizibilă cu 24. Din enunț se înțelege că demonstrația poate fi făcută numai pentru un n, ceea ce e banal.

Altfel mi se pare o problemă foarte frumoasă.

0 0

Întrebarea dvs. nu are rost pentru că m-aţi criticat deja. Din cîte ştiu eu, enunţurile problemelor de matematică, mai ales a celor frumoase,  sînt concise şi cei interesaţi de subiect le pricep fulgerător sensul.. Nu este ca în fizică unde pentru a descrie o problemă ai nevoie de două pagini virtuale. Oricare n descris sub  forma respectvă.

1 0

Dacă e vorba de oricare n, atunci hai să spunem oricare n, nu un n, pentru că un n înseamnă puțin altceva.

Nu e așa mare diferența dintre problemele de matematică și cele de fizică la nivel de exprimare. Amîndouă trebuie formulate logic, așa încît cititorul să recepționeze cît mai exact ce a gîndit autorul. Iar dacă totuși e o diferență, atunci mă aștept ca la problemele de matematică să se pună și mai mult preț pe rigoarea exprimării.

Se poate și concis, și clar. Claritatea nu implică verbozitate, mai ales în matematică. Uite cum se putea formula problema:

Demonstrați că oricare ar fi numărul natural n mai mic cu 1 decît un multiplu de 24, suma tuturor divizorilor săi este divizibilă cu 24.

0 0

Okay, chiar am reţinut lecţia pedagogică. Am o satisfacţie deosebită pentru că nu sînteţi în stare să daţi o soluţie la această problemă şi preferaţi să tastaţi nişte litere care au alcătuit cuvinte pentru care vă mulţumesc. Revin la acest comentariu pentru că nu am ce face în aşteptarea unui apel telefonic care-mi va spune aprope sigur "ia poşeta şi fuguţa aici". Noroc că ştiu drumul cu ochii închişi (cam 14 ore, o încîntare dar sînt blindată cu mijloace de comunicaţie, nu de alta, dar trebuie să fiu monitorizată ca să nu mai fiu recalcitrantă, cică). Am pus două probleme de matematică pe care nu ştiam iniţial cum să le rezolv. Pe aceasta am rezolvat-o, aşa spun eu, şi este o soluţie extrem de simplă în ciuda aparenţei ei de dificultate. La cea de a doua (mult mai dificilă) , încă nu mi-am dat seama de strategia de abordare, dar nu am apelat încă la ultima mea modalitate de a o rezolva : trintită pe burtică cu pixul, hîrtia şi problema. Din nefericire trebuie să remarc că matematica (pentru mine este doar o pasiune aflată pe locul trei pe lista mea)  nu este preţuită pe acest site, deşi se intitulează scientia.ro.

0 0

Senior AdiJapan Desi ma simt rusinat/"inciudat" cand gresesc, (si o fac din ce in ce mai des), nu mi-e rusine s-o recunosc, nu ma supar ca sunt corectat/completat/atentionat si apreciez pe cei care o fac, la fel cum fac si cu raspunsurile sau comentariile lor la alte intrebari/comentarii.

Ai perfecta dreptate cu tot ce ai scris aici si apreciez mult asta.

In versiunea initiala a problemei, daca nu consideram in mod total eronat pe 0/24 ca nederminare, demonstratia era gata facuta, fiind vorba de un (singur) n. Eu de fapt voiam sa demonstrez ca daca exista un singur n dintr-o infinitate de n-uri ce respecta conditia (n+1)/24=k, k-intreg, atunci nu se poate demonstra ce se cere in intrebare. Am facut 3 greseli capitale si am renuntat.

.


 

5 Raspunsuri

1 plus 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns
Ideea e urmatoarea :Deci numarul n e de forma 24k-1.

Se stie ca daca n=p1^k1*p2^k2....*pn^kn atunci suma divizorilor este data de formula: S=(1+p1+p1^2+...+p1^k1)....(1+pn+pn^2+...+pn^kn)(observatie se stie ca sumele din paranteza pot fi calculate dar ma ajuta forma asta mai mult)

Acuma fie p divizor de al lui n .Se remarca imediat ca p nu poate fi 2 sau 3 deci p poate fi de forma 6k+1 sau 6k-1.Sa demonstram ca n are in descompunere cel putin un numar p de forma 6k-1 la putere impara.

 Sa presupunem prin absurd ca nu ar exista atunci am obtine ca n e de forma 6k+1 ,contradictie cu forma lui n de 24k-1.

Deci exista p la putere impara fie r aceasta ,asta inseamna ca in calculul sumei S am avea o paranteza 1+p+p^2+...+p^s care este multiplu de 6(se remarca usor grupand cate 2 si tinand cont ca 1+p se divide cu 6).

Pe aceasi idee se considera p ca fiind de forma 8k-1, 8k+1,8k-3,8k+3,8k+5,8k-5. doar ca aici apare o discutie.Mai exact discutia se face dupa cate numere prime apar in descompunere.

Daca n are  doar un factor prim atunci este  de forma 8k-1 si  suma va fi divizibila cu 8.

Daca n are 2 factori  sau mai multi in descompunere si niciunul de forma 8k-1 atunci n neaparat are 2 factori de forma 8k+3 si 8k+5 la puteri impare altfel numarul n nu ar mai fi de forma 24k-1.Si se deduce ca suma se divide cu 4 de la 8k+3 si cu 2 de la 8k+5 de unde suma se divide cu 8 si in acest caz .

Astfel suma se divide cu 8 si cu 6 deci se divide cu 24.

Edit.Acuma am remarcat ca 8k+3 e echivalent cu 8k-5 si 8k-3 cu 8k+5 ,asta reducand discutia si dealtfel vizualizand mai usor.

Deci daca am avea 2 sau mai multi factori in descompunere fara sa fie vreunul de forma 8k-1 (acest caz avand direct suma divizibila cu 8) atunci neaparat avem un factor de forma 8k-3 si altul de forma 8k+3 la puteri impare altfel n ar avea forme icompatibile cu forma 8k-1 echivalenta cu 24k-1 cea din enunt.
Experimentat (2.3k puncte)
selectat de
0 0

Startul soluţiei a fost perfect, poate aţi putea detalia afirmaţia "n e de forma 6k+1 ,contradictie cu forma lui n de 24k-1", poate m-am zăpăcit eu şi pe moment nu o pricep. Continuarea pare corectă.

0 0
24k-1 e de forma 6k-1 se remarca imediat scriind 24k-1=6*4k-1.

deci contradictia vine din faptul ca un numar de forma 6k+1 nu poate fi de forma 6k-1.
0 0
Cu mica observaţie că pentru un număr prim n formula S parcă nu este valabilă, felicitări.
0 plusuri 1 minus
n=23, n+1=24, 24/24=1, 23 e prim, nu are divizori. suma lor este 0, care nu e divizibil cu24. Si la urmatorul n=47, avem cam aceeasi situatie, deci nu orice n care satisface conditiile din enunt, indeplineste conditia din intrebare.
Junior (740 puncte)
1 0
Sînteţi sigur că un număr prim nu are divizori?
0 0
Ai dreptate. Am uitat de 1 si de el insusi.
1 0
În plus de fapt 0 este divizibil cu 24, pentru că împărțirea se face fără rest:
0 : 24 = 0 rest 0
0 0
~AdiJapan: am reţinut ce aţi spus despre mine într-un comentariu aparţinînd altei întrebări . Probabil v-aţi gîndit că mă vor stimula acele vorbe, spre surprinderea mea sînt puţin intimidată cînd mai pun o întrebare sau un comentariu.
3 plusuri 0 minusuri

1. Cazul în care n e număr prim e evident. Divizorii lui sunt n și 1 iar suma lor, n + 1 este divizibilă cu 24 conform ipotezei.

2. Pentru n neprim, fie m și p doi divzori ai lui n, cu proprietatea că n = mp.

 

n = 24k - 1 sau, conform cu notația făcută, mp = 24k - 1.       (1)

 

Observăm că mp și 24k sunt prime între ele, deci și m cu 24k și p cu 24k sunt prime între ele. De aici rezultă că nici m nici p nu se divid cu divizorii lui 24k, adică 2, 3, 4, 6, 8, k, multipli sau puteri ai acestora. Rescriem (1) astfel:

 

m^2 + mp = 24k + m^2 - 1 sau

m(m + n) = 24k + (m + 1)(m - 1).      (2)

 

Cum am stabilit deja, m nu divide 24k și, în mod evident, m nu divide nici m + 1 nici m - 1, deci nici produsul lor, (m + 1)(m - 1). Acest produs are următoarele proprietăți:

Deoarece m e impar, (m + 1)(m - 1) e produsul a două numere pare consecutive care e totdeauna divizibil cu 8, deoarece, în general, 2q(2q + 2) = 4q(q + 1), iar membrul 2 e divizibil cu 8 pentru că ori q ori q + 1 trebuie să fie par. 

Observația că m nu se divide cu 3 conduce vizibil la concluzia că ori (m + 1) ori (m - 1) se divide cu 3, deci produsul (m + 1)(m - 1) se divide cu 3.

 

Dacă (m + 1)(m - 1) e divizibil și cu 8 și cu 3, atunci e divizibil cu 24 și putem nota (m + 1)(m - 1) = 24r,  iar (2) devine:

 

m(m + p) = 24k + 24r = 24(k + r).    (3)

 

Cu observația făcută deja că m nu divide nici 24k nici 24r deci nici 24(k+r) rămâne că m + p este divizibil cu 24, adică suma divizorilor lui n e divizibilă cu 24.

Editare:

E corectă observația lui mircea_p referitoare la numărul de divizori. Soluția dată de mine funcționează indiscutabil pentru doi divizori ai lui n (in afară de n și 1).

Pentru 3 divizori nu funcționeaza și fără nicio altă demonstrație am găsit un contraexemplu:

24*6 242 361= 149 816 664

149 816 664 - 1 = 149 816 663 care se descompune în factorii 37*709*5711. Suma acestori factori este impară și nu se divide cu 24. Nici dacă adunăm 1 și numărul însuși nu obținem un multiplu de 24 pentru că rezultatul rămâne impar și nici dacă îi grupăm cum am sugerat eu în răspuns. Așa că acei divizori botezați de mine d1, d2,...,di, sunt de fapt 2 factori, m și p.

De fapt răspunsul meu conține soluția, dar era nevoie de unele observații și precizări clarificatoare.

Observația este că nu există niciun un divizor d care, înmulțit cu el însuși, să dea n. Aceasta rezultă din raționamentul prin care am ajuns la relația (3). Ipoteza că d există conduce la concluzia absurdă că d e par. 

De aici rezultă că n are un număr par de divizori și  că toți divizorii  lui n pot fi grupați în dublete de forma (mi, pi), cu mi diferit de pi, cu proprietatea că mi*pi = n.

Am demonstrat deja că, pentru orice dublet de divizori (mi, pi) , 24 divide mi + pi, deci 24 divide suma tuturor (mi + pi), adică 24 divide suma tuturor divizorilor lui n.

 

Mi se pare interesantă și concluzia la care am ajuns în cursul rezolvării, aceea că n, așa cum e construit prin ipoteză, nu poate fi pătrat perfect. 

 

 

 

 

 

Senior (6.6k puncte)
editat de
0 0

Bravo Puiu, ai salvat onoarea forumului, ai vazut ce ne-a zis Gheorghita :

 

(Din nefericire trebuie să remarc că matematica [...] nu este preţuită pe acest site, deşi se intituleză scientia.ro)

0 0
Poate sînt prea obosită şi nu-mi dau seama bine cum este soluţia dvs. Mi se pare că suma  divizorilor d1....di trebuie să satisfacă o cerinţă şi nu m+p.
0 0
Așa este. Am renunțat la d1... di, ei au devenit m și p în editare, adică doar 2 factori.
0 0
Deşi opinia user-ului mircea_p este frumoasă, nu am precizat că divizorii sînt numere prime. Dar în general cînd aminteşti de un divizor nu se pomeneşte acest lucru, doar în cazuri specifice. Ca să dau un exemplu, ar însemna că 12 nu este divizor al lui 24. Problema este corectă, nu cred că găsiţi un contraexemplu.
0 0
Cred că ceva îmi scapă și că ceva nu am înțeles cum trebuie. Voi mai vedea.
0 0

$ Puiu: Revin pentru că ieri la amiază poate nu m-am făcut înţeleasă. Pentru a remedia acest lucru citez: " Un număr x este numit  divizor al altui număr y, dacă y se poate scrie ca produsul dintre x și un alt număr întreg t".

Făcînd calculul pentru contraexemplu dvs. pantagruelic, am obţinut că suma divizorilor acelui n se poate scrie 24*6420971, ceea ce infirmă rezultatul dvs. 

# Truth: Din comentariul dvs. rezultă fulgerător că de fapt nu prea studiaţi răspunsurile matematice şi le apreciaţi după notorietatea celui care le oferă.

 

1 0

Mulțumesc pentru definiție. Înțelesesem, totuși, de ieri. Mă prinsesem și de contraexemplu că e greșit.

Dar nu-mi place să-mi tot amendez răspunsul odată ce l-am dat. Îl las cum e, cu bune și cu rele. Dacă găsesc unul mai bun, care să generalizeze actualul răspuns, îl voi posta separat. Încă nu l-am găsit.

Îmi permit să vă dau un sfat, fără legătură cu problema, pentru că am observat că țineți mult la stilul comunicării: nu mai abuzați de cuvântul fulgerător. Verbal mai merg abuzuri din astea dar scripta manent.

1 0

Ironia subtilă pe care aţi făcut-o cu definiţia am priceput-o. Am făcut acel comentariu mai mult pentru mine pentru a fi cu inima împăcată. Sfatul l-am reţinut şi vă dau dreptate. Scuze. Ca să fiu în ton cu dvs., vale .

0 0
Ar fi corecta daca intr-adevar problema s-ar referi la suma factorilor primi, cum am inteles eu priginal. Poate si tu la fel.:)

Daca adaugam si divizorii neprimi se pare ca merge.

In cazul gasit de tine, am verificat, merge.

In afara de divizorii primi mai sant si

37*709=26,233

37*5711=211,307

709*5711=4,049,099

Suma totala (incluzand factori primii) este 2,293,096.

Care, surpriza, este 24*178,879. :)

Demonstratia ta cred ca se aplica in cazul asta, cu toti divizorii, nu?
0 0

Inițial m-am gândit la divizori, i-am notat cu d de la divizor, nu la factori primi. Impresia mea inițială a fost că e banal de demonstrat că, dacă-i poți grupa în căte două produse de divizori m și n în mod aleator, demonstrația că m + n se divide cu 24 rezolvă problema. După care nu am mai dat nicio atenție acestui aspect.

Apoi observația dvs. m-a derutat trimițându-mă la factori primi, drept pentru care am comentat ce am comentat la răspunsul pe care l-ați dat plus editarea.

Cum spuneam și Gheorghiței, nu-mi place să tot modific postările așa că las și comentariul și editarea unde sunt, deși nu mai sunt valabile.

Nu mi-a venit o idee prin care să demonstrez că procedeul meu merge pentru toți divizorii, nu doar pentru două grupe de produse de divizori. Simt că de la raționamentul cu m și n se poate trece la concluzia că suma tuturor divizorilor e multiplu de 24 dar nu am găsit (încâ) o demonstrație.

0 plusuri 0 minusuri
primul n care satisface condiţia este 95 şi anume: (95+1)/24=4 şi divizorii lui 95 sunt 1, 5, 19, 95 care suma lor este 120 care este multiplu de 24.

95=5*19 şi de aici prin inducţie matematică am găsit că avem progresia aritmetică care începe cu 19 şi cu raţia 24 şi anume 19, 43, 67, 91, 115, 139, 163, 187... şi ori care număr din această progresie aritmetică care continuă la infinit înmulţit cu 5 ne dă infinit n-uri care satisfac condiţia (n+1)/24 şi suma divizorilor lui n este divizibilă cu 24. Binenţeles acestea nu sunt singurele n-uri din această progresie aritmetică sunt şi altele care fac parte din alte progresii aritmetice tot cu raţia 24, să mai dau un alt exemplu şi anume progresia aritmetică care începe cu 17 tot cu raţia 24

17, 41, 65, 89, 113, 137... acestea se înmulţesc cu 7 şi obţinem alte n-uri şi aşa avem infinit progresii aritmetice.
Novice (156 puncte)
0 0
Aţi cam deviat de la subiect. Dar ideea cu inducţia este bună, nu ştiu de ce nu aţi insistat asupra ei, poate altădată. Doar ca să-mi dau cu părerea, la această metodă se verifică ipoteza pentru cîte numere iniţiale doriţi, apoi se sare la n+1+24, care se presupune că este divizibil cu 24 şi trebuie demonstrat că şi divizorii lui n+24.....
1 plus 0 minusuri
n=24*19-1=455

455=5*7*13

13+7+5=25

 

n=24*39-1= 935

935=5*11*17

17+11+5= 33

Se pare ca merge cand numarul are doi divizori. Dar cand sant trei nu.

In demonstratia lui Puiu mie mi se pare ca  m+p este suma divizorilor numai in cazul in care sant numai 2 divizori, d1=m si d2=p. Altfel m+p este ceva de genul d1*d2+d3 (prsupunand 3 divizori).

In primul caz (455) am putea avea m=5*7=35 si p=13

m+p=48=2*24

sau m=5 si p=7*13= 91

m+p=96=4*24

Interesant nu?

Deci se pare ca in general conjectura nu e adevarata. Dar e interesanta.:)

Sau am gresit la calcule?

Care o fi urmatorul caz cu trei factori?
Junior (870 puncte)
editat de
0 0
Corectă observația, am adăugat o erată la răspuns.

Și la 935=5*11*17 merg grupați, de exemplu 5*11 + 17 = 72 sau 5*17 + 11 = 96 sau 17*11 + 5 = 192. Posibilitatea acestor grupări m-a indus în eroare.
0 0
mie-mi pare ca 455 are 8 divizori. Suma lor=672/24
0 0

$ mircea_p:  mulţumesc pentru intervenţie, mica mea întrebare este dacă 35 este divizor al numărului 455?

0 0
Sigur ca este.

Acum realizez ca ai scris "suma divizorilor" si nu a factorilor primi (cum am considerat eu, nejustificat).

Daca e vorba de toti divizorii, devine prea complexa pentru mintea mea.

In afara cazurilor cele mai numeroase cu doar doi divizori care sant si factori primi.

Daca luam cazul lui 455, pe langa factorii primi (5,7,13) am avea si

5*7=35

5*13=65

7*13=91

Suma divizorilor devine 191+25=216

care evident se divide cu 24. :)

Ma bucur ca merge totusi. Era pacat sa nu mearga.

Am interpretat gresit eneuntul.
0 0

Okay mircea_p. Vă respect mult pentru că aveţi două calităţi rare: onestitate şi bun simţ. 

0 0

V-am  observat scepticismul in privinta umanitatii in general.  Ma refer la termenul "rare" din mesaj.  A mai fost exprimat pe aici. :) 

Multumesc pentru apreciere. Si asta e ceva rar, nu? :)

 

 

  

0 0
Ca să închei aici această discuţie care numai de matematică nu este, poate am folosit eu în mod abuziv termenul "rare", nu îmi amintesc. Bănuiesc că ultimul dvs. emoticon este datorită faptului  că nu prea se mulţumeşte pentru aprecierile date pe acest site, sau îmi scapă semnificaţia lui?
0 0
Nu, e datorat faptului ca imi place sa zambesc. Si o fac des (nu rar). :)

Dar daca e sa ma iau (mai) in serios, eu nu consider ca e ceva rar sa se multumeasca, nici pe forum nici in alte parti. Dar ma intrebam daca ati considera asta ceva rar, data fiind imaginea oarecum pesimista pe care ati exprimat-o mai direct sau mai indirect pe aici. Acum zambesc iar dar nu mai pun emoticon ca a nu starnesc alte nedumeriri.
0 0
Citind comentariile, ma intreb, cum ar fi sa se puna impozit sau ceva taxe pe râs.

Nu râdeti, se taxeaza!

Care ar fi pedeapsa pentru emoticonul acela care rade "cu gura pana la urechi"?Aaaa!Nu e pedeapsa pt. asa ceva?Ma gandeam si Io ....
0 0

Mai degraba s-ar taxa lipsa de simt al umorului. S-ar obtine venituri mai mari, nu crezi? wink (asta e "tax free", nu e cu gura la urechi)

 

...