Ecuaţie dificilă: există o soluţie?

Question

( x + y )^5 = x^4 + y^4. Are soluţii această ecuaţie pentru x şi y numere întregi?

Answer 1

Da, există o infinitate de soluții.

Genul acesta de ecuații nu are metode standard de rezolvare. În principiu, ele trebuie reformulate prin înlocuiri și diverse artificii, după caz, pentru a fi îmblânzite.

În cazul de față, o primă notație pe care am făcut-o este 

x + y = a   (1)

Punem condiția ca a > 0 deoarece primul membru al ecuației este o putere impară a lui a, în timp ce al doilea membru este pozitiv, ca sumă de puteri pare ale unor numere întregi.

Ne-ar fi util să-i rescriem și pe x și pe y ca funcții lineare de a pentru ca, eventual, să aducem ecuația la o formă care să ne permită exploatarea unor proprietăți care apar.

Notăm x = ka și y = pa, unde k și p sunt numere întregi. Din (1) rezultă că p și k trebuie să respecte condiția k + p = 1.

Înlocuind în ecuația din enunț, avem:

a^5 = (k^4)(a^4) + (p^4)(a^4) = (a^4)(k^4 + p^4). De aici rezultă, pentru ca egalitatea să fie adevărată, condiția

a = k^4 + p^4.

Am obținut, deci, că pentru orice numere întregi k și p cu proprietatea k + p = 1 există o pereche (x, y) întregi de forma x = ka și y = pa, unde a = k^4 + p^4, care sunt soluție a ecuației (x + y)^5 = x^4 + y^4.

De exemplu, soluția (-194, 291) dată în răspunsul lui Min este obținută pentru cazul k = -2, p = 3 (se vede că e îndeplinită condiția k + p = 1) iar a = (-2)^4 + 3^4 = 97, de unde x = (-2)*97 = -194 și y = 3*97 = 291.

 

Alt exemplu: 

Aleg k = -4 și p = 5, astfel încît k + p = 1. Rezultă a = k^4 + p^4 = 256 + 625 = 881.

Rezultă x = (-4)*881 = -3524 și y = 5*881 = 4405. Înlocuind aceste valori în ecuație verificăm că ele sunt soluție, respectiv

x^4 = (-3524)^4 = 154 221 029 867 776

y^4 = 4405^4 = 376 516 186 200 625

și (x + y)^5 = (-3524 + 4405)^5 = 881^5 = 530 737 216 068 401 

Ultimul număr mare este egal cu suma primelor două, deci (-3524, 4405) e soluție.

Cum există o infinitate de perechi (k, p) numere întregi care satisfac condiția k+p=1, există deci o infinitate de soluții de forma x=ka și y=pa, cu a=k^4+p^4. 

Comments

Foarte frumoasă soluţia. Felicitări şi doar precizez, cum de altfel au amintit doi useri, că v-a scăpat faptul minor x=y=k=p=a=0.

---

Mulțumesc.

Așa e, trebuia să precizez că, pe lângă soluțiile de forma x = ka și y = pa cu k + p = 1 și a = k^4 + p^4, mai există și soluția evidentă (0, 0) când k = 0 și p = 0.

Answer 2

singura soluţie este x=0 şi y=1 sau x=1 şi y=0

(0+1)^5=0^4+1^4

           1=1

Comments

Dar bineînţeles că aveţi şi asul de treflă în mînecă (ca la bridge) , pe care-l scoateţi pentru o demonstraţie matematică. Posibil să fie mai multe perechi de numere în culpă?

---

@Raul89, de binomul lui Newton ai auzit? Probabil că nu dacă faci adunarea din paranteză şi ridici la putere. Nu ştiu cine te-a votat pozitiv, dar foarte probabil că nici respectiva persoană nu ştie prea multe despre matematică din moment ce ţi-a împărtăşit opinia.

(x + y)⁵ descompus ar trebui să fie egal cu x⁵ +5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵ , aşadar încearcă acum soluţia cu x=0, respectiv y=1 sa vedem dacă mai obţii 1=1

---

Da, dacă înlocuiește x=0 și y=1 în dezvoltarea sub forma binomului lui Newton, obține fix 1=1. Ce e greșit în face adunarea din paranteză și a ridica apoi la putere?

Dar de ce nu încercați să rezolvați problema folosind binomul lui Newton dacă tot vă e așa familiar?

Tonul belicos pe care-l folosiți e cu atât mai nepotrivit cu cât faceți și afirmații greșite.

---

! peaceful.warrior : Eu am votat pozitiv răspunsul şi nu degeaba.  Nici nu ştiu cum să vă răspund ca să nu depăşesc măsura. Faptul minor că ştiţi dezvoltarea binomului nu vă îndreptăţeşte să vă daţi cu părerea despre competenţele în matematică ale unor persoane, fie ele mai pricepute sau nu în acest domeniu şi bineînţeles că din punct de vedere matematic aţi spus numai prostii. Este  părerea unei persoane care citez "nu ştie prea multe despre matematică din moment ce ţi-a împărtăşit opinia". Dacă sînteţi aşa de capabil în matematică de vă daţi cu părerea despre alţii, de ce nu daţi o soluţie la această problemă? Întrebare retorică, pentru că în veci nu o veţi găsi.

---

Ce rost are sa calculezi folosind binomul lui Newton cand e mult mai simplu sa calculezi paranteza si sa ridici la putere.Rezultatul trebuie sa fie acelasi.Chestia aceasta cu folosirea binomului lui Newton este ca si cum ai vrea sa mergi de la Bucuresti la Constanta prin Atena.

---

Ok, am greşit, am căzut în penibil şi îmi asum... ar fi trebuit să-mi ascult intuiţia şi să ţin gura închisă. Ideea e în felul următor, eu nu sunt matematician, pasiunile mele dominante au fost mereu şi sunt pe latură umanistă. Curios fiind din fire am vrut să înţeleg şi eu cum stă treaba cu ecuaţia asta şi am întrebat un prieten care are ceva mai multe cunoştinţe de matematică. Am întrebat cum anume se descompune (x + y)^5 şi mi-a zis în grabă de binomul lui Newton. Am căutat pe net, am văzut cum se descompune şi evident că n-am făcut calculul până la capăt convins de faptul că rezultatul ar fi zero. Sincer nu am intenţionat să fiu răutăcios deşi sunt convins că al meu comentariu a sunat cam aiurea... Mi-am tot zis în sinea mea să nu o fac pe deşteptul pe un nisip mişcător, dar cum am văzut că nimeni nu a mai zis nimic, iar Gheorghiţa părea să aibă o remarcă parcă ironică "Dar bineînţeles că aveţi şi asul de treflă în mînecă (ca la bridge) , pe care-l scoateţi pentru o demonstraţie matematică. Posibil să fie mai multe perechi de numere în culpă?" aşa mi s-a părut la o primă impresie, acum habar nu am ce să înţeleg dintr-un astfel de răspuns. În fine... nu mai contează, ideea e că am dat cu băţul în baltă. Îmi cer scuze de la Raul, sper să-mi înţeleagă stângăcia şi să nu o judece prea aspru.

 

Doamnă, sau domnişoară Gheorghiţa, înţeleg că indirect am reuşit să vă adresez o judecată de valoare, pentru care în mod normal mi-aş cere scuze, dar de data asta nu am să o fac şi am să explic de ce. Consider că atâta timp cât dvs. vă cunoaşteţi nivelul de competenţă în matematică nu aveţi nici un motiv pentru care să vă simţiţi jignită indirect de lipsa unei aprecieri din partea unui necunoscut, poate doar dacă există ceva frustrare (de orice natură ar fi ea) care permite orgoliului să fie atins. Dacă s-a produs o jignire, s-a produs doar în faţa orgoliului dvs. iar în faţa acestuia eu nu mă scuz. Ideal ar fi fost să puteţi fi de neatins, cu atat mai puţin de ceva indirect, dar mă opresc aici şi vă las pe dvs. să mai reflectaţi asupra acestei probleme de ordin psihologic.

 

"Şi săgeţi ale urii au fost ţintite spre mine; ele nu m-au atins însă nicicând, deoarece aparţineau întrucâtva unei alte lumi şi cu aceasta n-am nici o legătură." (Albert Einstein)

---

Mai e soluția (0, 0).

---

Okay peaceful.warrior. Miss Gheorghiţa.

---

Iar eu mi-s Adi. Încîntat.

Scuze, n-am putut să scap ocazia. Mi se pare arhaic și ușor stupid obiceiul ăsta de a împărți femeile în doamne și domnișoare, iar pe bărbați de a-i pune la grămadă. E ca și cum bărbații nu s-ar schimba deloc prin căsătorie sau ca și cum femeile s-ar schimba enorm. Fie că voi primi sau nu vreodată o poșetă în cap (încă nu), eu le spun doamnă tuturor femeilor, fără să țin cont de starea civilă. Domnișoară le spun eventual fetițelor de grădiniță, așa cum domnișor le spun băiețeilor de grădiniță.

Scuze și pentru divagație.

---

Scuze pentru că divaghez: aşa cum cineva ţine neapărat să precizeze că este prin Japonia, la fel şi altcineva poate să-şi precizeze statutul, nu este ostentativ şi nu deranjează pe nimeni. Poate v-aţi referit la confuzul p.w sau la mine că am folosit cuvîntul miss, oricum nu ştiu cum de am parte de comentarii nepotrivite la această  întrebare de matematică pură care este extrem de dificilă.

---

Iertați-mă, miss Gheorghița.

---

Okay Adi. Cu prietenie, ultimele două cuvinte sînt puse pentru a depăşi pragul de 10 caractere.

Answer 3

(-194, 291) (-17, 34) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (34, -17) (291, -194)

Comments

În afară de cele trei banale cu 0 și 1, restul nu ies la calcul. Greșesc eu undeva?

---

Aţi greşit probabil la ridcările la putere. Am verificat doar 34 şi -17  şi este corect. Mă întreb de ce cînd puneţi o întrebare din domeniul dvs. cereţi să fie despicată sfoara în cinsprezece pentru a înţelege fenomenele, iar la matematică vă satisface un rezultat concret fără explicaţii.

---

Și celelalte se verifică.

---

Soluţiile oferite de  Min  - poate este amabil şi-mi va spune vreodată de unde sau cum le-a obţinut , sugerează şi  o rezolvare .  Pentru că tot v-am prins Puiu, sper că veţi descoperi o soluţie în stilul profesionist al dvs. la această problemă, nu voi putea să-mi dau cu părerea despre ea (de parcă ar conta pentru cineva), trebuie să plec din ţară iar şi fulgerător. Încă sînt bosumflată pentru că aţi răspuns la o întrebare. (o spun ca să plec cu zîmbetul pe buze).

---

Așa e, greșisem la un semn. Ridicasem la a 4-a, dar păstrasem minusul. Mulțumesc.

Miss Gheorghița, nu știu de ce credeți că la matematică m-ar satisface un rezultat concret fără explicații. Nu vă pot urmări raționamentul, nu știu cum ați ajuns la impresia asta.

---

AdiJapan: am făcut consideraţii prea fugitive la nişte comentarii de-ale dvs. la o altă întrebare de matematică. Voi fi mai grijulie de acum înainte.