Da, există o infinitate de soluții.
Genul acesta de ecuații nu are metode standard de rezolvare. În principiu, ele trebuie reformulate prin înlocuiri și diverse artificii, după caz, pentru a fi îmblânzite.
În cazul de față, o primă notație pe care am făcut-o este
x + y = a (1)
Punem condiția ca a > 0 deoarece primul membru al ecuației este o putere impară a lui a, în timp ce al doilea membru este pozitiv, ca sumă de puteri pare ale unor numere întregi.
Ne-ar fi util să-i rescriem și pe x și pe y ca funcții lineare de a pentru ca, eventual, să aducem ecuația la o formă care să ne permită exploatarea unor proprietăți care apar.
Notăm x = ka și y = pa, unde k și p sunt numere întregi. Din (1) rezultă că p și k trebuie să respecte condiția k + p = 1.
Înlocuind în ecuația din enunț, avem:
a^5 = (k^4)(a^4) + (p^4)(a^4) = (a^4)(k^4 + p^4). De aici rezultă, pentru ca egalitatea să fie adevărată, condiția
a = k^4 + p^4.
Am obținut, deci, că pentru orice numere întregi k și p cu proprietatea k + p = 1 există o pereche (x, y) întregi de forma x = ka și y = pa, unde a = k^4 + p^4, care sunt soluție a ecuației (x + y)^5 = x^4 + y^4.
De exemplu, soluția (-194, 291) dată în răspunsul lui Min este obținută pentru cazul k = -2, p = 3 (se vede că e îndeplinită condiția k + p = 1) iar a = (-2)^4 + 3^4 = 97, de unde x = (-2)*97 = -194 și y = 3*97 = 291.
Alt exemplu:
Aleg k = -4 și p = 5, astfel încît k + p = 1. Rezultă a = k^4 + p^4 = 256 + 625 = 881.
Rezultă x = (-4)*881 = -3524 și y = 5*881 = 4405. Înlocuind aceste valori în ecuație verificăm că ele sunt soluție, respectiv
x^4 = (-3524)^4 = 154 221 029 867 776
y^4 = 4405^4 = 376 516 186 200 625
și (x + y)^5 = (-3524 + 4405)^5 = 881^5 = 530 737 216 068 401
Ultimul număr mare este egal cu suma primelor două, deci (-3524, 4405) e soluție.
Cum există o infinitate de perechi (k, p) numere întregi care satisfac condiția k+p=1, există deci o infinitate de soluții de forma x=ka și y=pa, cu a=k^4+p^4.