1. Fie o dreaptă d a cărei ecuație generală are formă mx+py+q=0.
Ecuația unei drepte care trece printr-un punct D(xD,yD) și face cu axa x unghiul a este:
y-yD=g(x-xD) (1) unde g=tga reprezintă panta, a aparține de intervalul [0,pi] și a e diferit de pi/2.
(1) devine gx-y+yD-gxD=0
Identificând coeficienții din forma generală avem
m=g=tg(a); p=-1; q=yD-tg(a)*xD (2) iar (1) ia forma
tg(a)*x-y+yD-xD*tg(a)=0
Distanța dintre un punct P(xP,yP) și o dreapata mx+py+q=0 este:
s=(/mxP+pyP+q/)/sqrt(m^2+p^2) - liniile oblice de la numărător indică "în modul".
Înlocuind valorile din (2) rezultă:
s=(/tg(a)*xP-tg(a)*xD+yD-yP/)/sqrt[(1+(tga)^2].
Numitorul devine sqrt[1/(cosa)^2]=1/coș(a) (am aplicat sin^2+cos^2=1 și tg=sin/cos unghiului a)
Scriind la numărător tg că raportul sin/cos, rezultă pentru distanța dintre P și d,
s=/xP*sin(a)-xD*sin(a)+yD*cos(a)-yP*cos(a)/
2. Perpendiculara din P(xP,yP) pe d face cu axă x unghiul a+pi/2 iar ecuația ei rezultă ca și la punctul 1 din
y-yP=tg(a+pi/2)(x-xP) ; tg(a+pi/2)=-1/tg(a) => ecuația dreptei devine
x+tg(a)*y-xP-tg(a)*yP=0 (3)
Pentru a determina coordonatele punctului T de intersecție între perpendiculara din P pe d și d, rezolvăm sistemul de ecuații liniare (1) și (3), adică determinăm valorile lui x și y care satisfac ambele ecuații, ceea ce înseamnă că ele sunt coordonatele punctului de intersecție. Nu mai scriu calculul. Menționez că am folosit aceleași formule trigonometrice ca la punctul 1. și, în plus, am folosit și formula sin(a)*cos(a)=[sin(2a)]/2.
Coordonatele cerute, soluții ale sistemului de ecuații liniare, sunt:
xT=xP*[cos(a)]^2+yP*[sin(2a)]/2-yd*[sin(2a)]/2+xD*[sin(a)]^2
yT=xP*[sin(2a)]/2+yP[sin(a)]^2+yD*[cos(a)]^2-xD*[sin(2a)]/2
Se observă că restricția inițială care rezulta din exprimarea pantei unei drepte ca tg(a) nu se mai impune, formulele finale fiind aplicabile oricăror puncte și drepte din plan.