Pentru a putea publica, trebuie să vă înregistraţi.
Contul se valideaza de admin in cel mult 24 de ore.
Pune o întrebare

Newsletter


3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.4k comentarii

2.4k utilizatori

1 plus 0 minusuri
8.2k vizualizari
Se dă dreapta d care trece prin punctul D aflat la poziția (xD, yD) și care face unghiul a cu axa Ox. Se mai dă și punctul P aflat la poziția (xP, yP).

Se cere:

1. Cît e distanța dintre punctul P și dreapta d?
2. Prin P trece o dreaptă p care e perpendiculară pe d. Care e poziția (xT, yT) a punctului T aflat la intersecția dreptelor d și p?

Formulele trebuie să funcționeze pentru absolut toate dreptele d și punctele P din plan.
Expert (12.9k puncte) in categoria Matematica

2 Raspunsuri

2 plusuri 1 minus
 
Cel mai bun raspuns
 1. Fie o dreaptă d a cărei ecuație generală are formă mx+py+q=0.  
 Ecuația unei drepte care trece printr-un punct D(xD,yD) și face cu axa x unghiul a este: 
      y-yD=g(x-xD)  (1)  unde g=tga reprezintă panta, a aparține de intervalul [0,pi] și a e diferit de pi/2. 
      (1) devine gx-y+yD-gxD=0 
 Identificând coeficienții din forma generală avem 
      m=g=tg(a); p=-1; q=yD-tg(a)*xD (2) iar (1) ia forma  
      tg(a)*x-y+yD-xD*tg(a)=0 
  
 Distanța dintre un punct P(xP,yP) și o dreapata mx+py+q=0 este: 
      s=(/mxP+pyP+q/)/sqrt(m^2+p^2) - liniile oblice de la numărător indică "în modul".  
 Înlocuind valorile din (2) rezultă: 
      s=(/tg(a)*xP-tg(a)*xD+yD-yP/)/sqrt[(1+(tga)^2].  
 Numitorul devine sqrt[1/(cosa)^2]=1/coș(a) (am aplicat sin^2+cos^2=1 și tg=sin/cos unghiului a) 
 Scriind la numărător tg că raportul sin/cos, rezultă pentru distanța dintre P și d, 
        
      s=/xP*sin(a)-xD*sin(a)+yD*cos(a)-yP*cos(a)/ 
  
 2. Perpendiculara din P(xP,yP) pe d face cu axă x unghiul a+pi/2 iar ecuația ei rezultă ca și la punctul 1 din 
      y-yP=tg(a+pi/2)(x-xP) ; tg(a+pi/2)=-1/tg(a) => ecuația dreptei devine 
      x+tg(a)*y-xP-tg(a)*yP=0  (3) 
 Pentru a determina coordonatele punctului T de intersecție între perpendiculara din P pe d și d, rezolvăm sistemul de ecuații liniare (1) și (3), adică determinăm valorile lui x și y care satisfac ambele ecuații, ceea ce înseamnă că ele sunt coordonatele punctului de intersecție. Nu mai scriu calculul. Menționez că am folosit aceleași formule trigonometrice ca la punctul 1. și, în plus, am folosit și formula sin(a)*cos(a)=[sin(2a)]/2. 
  
 Coordonatele cerute, soluții ale sistemului de ecuații liniare, sunt: 
  
      xT=xP*[cos(a)]^2+yP*[sin(2a)]/2-yd*[sin(2a)]/2+xD*[sin(a)]^2  
  
      yT=xP*[sin(2a)]/2+yP[sin(a)]^2+yD*[cos(a)]^2-xD*[sin(2a)]/2  
 
Se observă că restricția inițială care rezulta din exprimarea pantei unei drepte ca tg(a) nu se mai impune, formulele finale fiind aplicabile oricăror puncte și drepte din plan. 
 
 
 
 
  
  
Senior (6.6k puncte)
selectat de
0 0
N-am înțeles cum ați ajuns la formula s = |mxP+pyP+q/| / sqrt(m^2+p^2).
0 0
 Este o formulă folosită ale cărei demonstrații le puteți găsi aici: http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_line#CITEREFLarsonHosttler2007 
 Dacă nu aș fi folosit-o (mi s-a părut practică în cazul de față) puteam rezolva mai întâi punctul 2. al problemei după care, cunoscând coordonatele lui P și T rezultă lungimea segmentului PT, adică distanța de la P la dreapta d, din teorema lui Pitagora. 
 Am fi avut: PT=sqrt[(xP-xT)^2+(yP-yT)^2]. 
0 0
A, bine, am crezut că ați rezolvat problema cu propriile forțe. :-) Nu știam că există articolul acela la Wikipedia (de altfel nici n-am căutat pe internet).

Pentru felul cum a fost dată dreapta în enunț (folosind un punct de pe ea și un unghi), există o cale mai directă de a calcula atît distanța dintre punct și dreaptă, cît și poziția piciorului perpendicularei. Calea aceasta lipsește din articolul de la Wikipedia.

Dumneavoastră ați pus mai întîi dreapta sub forma unei ecuații mx+py+q=0, ca să puteți folosi formula de la Wikipedia, iar la final rezultatul l-ați întors la parametrii dați în enunț, ceea ce e un drum ocolitor. În plus a trebuit să faceți presupunerea că rezultatul e valabil și la drepte verticale, chiar dacă de fapt calculul folosind tg(a) nu vă permite extrapolarea asta (ce-i drept presupunerea e rezonabilă).
0 0
 Aș fi fost mândru dacă aș fi găsit cu propriile forțe o formulă așa de frumoasă care calculează distanța dintre un punct și o dreaptă date. 
 Dar mă mulțumesc și doar cu a ști că există, a-i înțelege demonstrația și a putea să o folosesc acolo unde apreciez că e utilă. 
 
 La începutul soluției am precizat că a e diferit de pi/2  atunci când am exprimat panta ca tg(a), deci am excus explicit a=pi/2 , nu am făcut presupunerea că rezultatul e valabil și la drepte verticale. 
 De aceea în formulele finale am scăpat de tg(a), ceea ce a făcut ca în forma finală restricția să nu se mai impună, așa cum am arătat în ultima frază din răspuns. 
 
 Dar nu mi-ați spus dacă ați verificat rezultatele. Sunt formulele obținute corecte și, eventual, utile?  
 Mă preocupă asta mai ales că am pigulit cu creionul o grămadă ca sa ajung la ele, negăsind calculele gata făcute nici pe Wikipedia și nici pe alte situri, și n-aș vrea să fi greșit :) 
0 0
Așa este, cazul dreptei verticale l-ați exclus de la început și apoi ați constatat (tacit) că formula finală merge și la drepte verticale.

Formulele pe care le-ați obținut sînt toate bune. Mi-a trebuit puțin timp să verific, pentru că prin transformări trigonometrice le-ați dus în alte forme decît cele pe care le am eu. De exemplu mi-ați lăsat mie să dau factorii comuni, în schimb ați aplicat transformări pentru unghiul dublu, care în cazul acesta, deși scurtează puțin notația, nu aduc nici un avantaj în înțelegerea intuitivă a formulelor (unghiul dublu nu apare nicăieri în desen, de exemplu).

Voi da și soluția mea într-un răspuns separat.
1 plus 0 minusuri
Am ales răspunsul lui Puiu ca fiind cel mai bun, în semn de felicitare pentru efortul pe care l-a făcut, deși răspunsul meu cred că este puțin mai bun decît al lui (cu toată modestia). Iată-l.

La dreapta din enunț cel mai bine se potrivește o descriere parametrică:

x = xD + t * cos(a)
y = yD + t * sin(a)

unde t este un parametru care arată poziția punctelor pe dreaptă. El ia valoarea 0 în punctul D, valori pozitive de o parte și negative de cealaltă. Această descriere a dreptei funcționează perfect indiferent de orientare, fără probleme la drepte verticale sau orizontale. Orice punct de pe dreaptă este determinat în mod unic de valoarea lui t.

Distanța de la P la un punct oarecare de pe dreaptă se calculează cu formula lui Pitagora:

d^2 = (xD + t * cos(a) - xP)^2 + (yD + t * sin(a) - yP)^2

Caut valoarea lui t pentru care d ia valoarea minimă. Dacă d este minim atunci și d^2 are tot un minim, așa că nu mai fac efortul de a scoate rădăcina pătrată din d^2, deocamdată. Rearanjez termenii lui d^2 sub forma unei funcții de gradul 2 în t:

d^2 = t^2 + 2*((xD-xP)*cos(a) + (yD-yP)*sin(a)) + (xD-xP)^2 + (yD-yP)^2

(Coeficientul lui t^2 era cos(a)^2 + sin(a)^2.)

O funcție de forma y = ax^2+bx+c cu a nenul și pozitiv are minimul la x = -b/(2a). Atunci valoarea minimă a lui d^2 se obține cînd t ia valoarea tmin:

tmin = (xP-xD)*cos(a) + (yP-yD)*sin(a)

Acum știu la ce poziție pe dreaptă se află punctul T și pot răspunde la punctul 2 din problemă. Trebuie doar să înlocuiesc t-urile din descrierea parametrică a dreptei cu tmin:

xT = xD + (xP-xD)*cos(a)^2 + (yP-yD)*sin(a)*cos(a)
yT = yD + (xP-xD)*cos(a)*sin(a) + (yP-yD)*sin(a)^2

În plus, dacă știu tmin pot să aflu și distanța dintre punct și dreaptă, pe care o notez cu dmin și care e radical din d^2 atunci cînd t = tmin. Pentru asta mai întîi înlocuiesc t cu tmin în formula lui d^2 și după puțină pieptănare obțin:

dmin^2 = ((xP-xD)*sin(a)-(yP-yD)*cos(a))^2

În dreapta am tot un pătrat, deci e ușor să extrag radical. Obțin că distanța dintre punct și dreaptă este:

dmin = |(xP-xD)*sin(a)-(yP-yD)*cos(a)|

Cu asta am răspuns și la punctul 1.

Am folosit numai matematici elementare (trigonometrie simplă, funcția de gradul 2). Descrierea parametrică a dreptei m-a scutit de împărțiri la zero și de tangente infinite. Rezultatul funcționează pentru absolut toate dreptele și punctele din plan.
Expert (12.9k puncte)
1 0
 Utilizarea formei parametrice are avantajul că elimină din capul locului orice restricție privind poziția dreptei. Altfel, calculele nu sunt cu mult mai puțin laborioase.  
 Ați dat o soluție eleganta pe care o apreciez. 
0 0
Mulțumesc.
...