Metode elegante si ingenioase de a construi trisectoarele unui unghi.

Question

Un matematician francez, Pierre Wantzel, demonstra inca din 1837 ca nu se poate imparti un unghi in 3 parti egale doar cu rigla nemarcata si compasul. Totusi, exista o serie de altfel de metode de a construi trisectoarele unui unghi.

Cateva sunt pomenite aici:

http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection#Trisection_using_other_methods

 

Mai jos descriu o metoda despre care am aflat recent de la un prieten:

1. Se traseaza cu compasul arcul de cerc care subintinde unghiul dat

2. Sectorul de cerc obtinut la pasul 1 se trece in 3 dimensiuni, obtinandu-se astfel un con (presupunand ca putem face asta cu, sa zicem, o foarfeca ideala). Arcul de cerc desenat la punctul 1 va deveni cercul de la baza conului.

3. Baza conului, un cerc, este pusa pe o alta foaie de hartie pe care este desenat cercul respectiv.

4. Cercul desenat la punctul 3 se imparte in 3 arce de cerc de cate 120 de grade (lucru simplu de facut cu compasul). Se marcheaza cele 3 puncte pe cercul desenat la punctul 3.

5.Se aseaza conul de la punctul 2 peste cercul desenat la punctul 3 si se marcheaza pe el cele 3 puncte determinate anterior (unul din cele 3 puncte trebuie sa coincida cu locul unde au fost alipite capetele arcului de cerc).

6. Se readuce conul in plan, moment in care vom avea arcul de cerc marcat pentru a fi impartit in 3 parti egale.

7. Se construiesc trisectoarele folosind punctele desenate la 5.

 

Ce alte metode de a construi trisectoarele unui unghi cunoasteti?

Comments

Who does it care? Pentru a da un răspuns mai întâi ne trimiteţi pe Wikipedia, după asta ne mai furnizaţi o soluţie şi apoi ne cereţi a suta metodă. De fapt aţi vrut să prezenaţi ceva interesant pentru dumneavoastră şi nu ştiaţi cum să afle toată omenirea care nu are altceva de făcut decât să găsească toate metodele de a construi trisectoarele şi apoi să vină cu ceva nou.

---

Asa, si? Care e problema? Dacă nu vă păsa, puteaţi ignora întrebarea. De ce nu aţi făcut asta? Puteţi pune degetul pe detaliul care v-a iritat cel mai tare?

Eu unul cred că vorbiţi doar ca să nu tăceţi...

---

Am fost foarte explicită.

Sunt  întrebări puse de oameni care:

- nu ştiu

- ştiu răspunsul dar ar dori şi alte rezolvări, observaţii sau opini - profane sau profesioniste

-  se chinuie să găsească subiecte interesante, doar penru a fi actvi pe site:

Îmi pasă cănd văd întrebări puse doar de formă pentru că (mai bine) nu ......

Un articol pe subiect, şi nu întrebare, era mai indicat.  

Care detaliu? Pentru ce credeţi dumneavoastră, medicul recomandă FB.

---

Doamna, ca inteleg ca sunteti o doamna revenita in tara, eu nu cred nimic.

Daca aveam la dispozitie matematica in categoria "Stiati ca", plasam acolo intrebarea, dar cum nu e cazul, a ramas varianta asta, a intrebarii pure. Iar problema trisectoarelor e una care are destula istorie in spate. Probabil ca s-au scris multe capitole de carte care o ataca si care vin cu diverse metode de a o aborda. Wikipedia nu le contine pe toate, iar intentia mea a fost de e le elimina din discutie, pentru ca acolo poate citi oricine.

Mie mi se pare ca manifestati exact unul dintre defectele de care noi, cei care am trait dintotdeauna in RO, ne plangem ca il avem ca popor si de care, chipurile, nu ne putem debarasa (eu personal nu cred asta): orice vrea unul sau altul sa faca pe acest forum, bun ori mai putin bun, sariti in doi timp si trei miscari si ii gasiti nod in papura...

Oricum, eu inchid aici pseudo-dialogul nostru si vă las cu a dvs. mâţă...

Answer 1

Teoretic, nu este posibila o impartire a un unghi in 3 unghiuri egale. Practic, da. Dar nu se poate vorbi de precizie perfecta, dar nici daca se folosesc alte instrumente nu se poate obtine o precizie perfecta. Teoretic nu se pot face multe, nu prea se poate imparti o pizza in 8 felii egale din 3 taieturi, de exemplu. Practic daca se fac primele doua taieturi perpendiculare, iar cele 4 felii obtinute se pun una peste alta, iar a treia taietura le taie pe toate pe mijloc, se obtine exact ce se cere. Practic un segment se poate imparti si in 69 de segmente egale doar cu un compas si o rigla nemarcata. Si un unghi la fel. Dar e treaba de chinez, adica 12 ore de munca pentru un bob de orez, pentru ca atat valoreaza. Nu se pot imparti unghiurile ca lumea pentru ca se considera ca un compas nu foloseste decat la trasat cercuri, de fapt el poate fi folosit la compararea a doua segmente si la impartirea lor, asa cum majoritatea riglelor pot fi folosite pentru a trage perpendiculare.

Oricum, incerc sa dau o solutie cat mai simpla si  cat  mai matematica:

1. Avem unghiul A. Trasam un cerc cu varful in A. Acolo unde cercul intersecteaza dreptele alea notam B respectiv C. Avem, deci, un triunghi isoscel. Stergem cercul, ca ne incurca acum.

2. Trasam un alt cerc cu varful in A, dar cu raza mai mare decat inaltimea din A pe BC, dar mai mica decat AB sau AC (care sunt egale, oricum). Obtinem din intersectia cercului cu triunghiul 4 puncte. Punctul in care se intersecteaza cu AB il notam B, punctele de pe BC care se intersecteaza cu cercul le botezam P si Q, iar punctul de pe AC va fi intitulat N.

3. Acum se aplica teoria lui gigicelrau.  Fiti pe faza. Gigicelrau spune ca daca MP=PQ=PN atunci AP si AQ sunt ceea ce gigicelrau numeste in zilele noastre trisectoare. De ce? Hehehe...

4. Se aplica lema lui gigicelrau, care zice ca ABC fiind isoscel, MP=PN. Deci nu mai trebuie sa comparam decat PQ cu MP.  Pentru asta, exista doua metode: metoda lui gigicelrau (cea rapida si simpla) si metoda chinezului. Metoda lui gigicelrau: se pune compasul cu picioarele pe PQ. Se aseaza apoi pe PM. Daca picioarele au aceeasi deschidere, sunt egale, daca nu, nu sunt. Metoda chinezului: chinezul verifica daca MPQ e isoscel. Cum verifica un chinezdaca un triunghi oarecare, fie el ABC, e isoscel cu varful in A? Ia compasul, il infige in B, trage din el un cerc cu raza BC. Acelasi lucru face si din C. Astfel, chinezul obtine doua cercuri care se intersecteaza in doua puncte, hai sa le numim 第一 si 第二. Chinezul stie ca triunghiul BC第一 e echilateral, la fel ca BC第二. Deci dreeapta 第一第二 e perpendiculara pe BC. Daca dreapta asta trece si prin A, atunci ABC isoscel. Attfel nu.

5. Daca PQ si MP nu sunt egale (din prima incercare probabil ca nu sunt). Se reface desenul. Adica daca PQ<MP, se ia o raza mai mare decat cea precedenta, dar mai mica decat AB si AC. Daca PQ>MP, se ia o raza mai mica decat cea precedenta, dar mai mica decat inaltimea din A pe BC.

Amin.