Întrebarea mi-a adus imediat în minte paradoxul cu Ahile și țestoasa: excelentul alergător Ahile nu va putea prinde niciodată din urmă înceata țestoasă, pentru că ori de cîte ori Ahile ajunge la locul unde s-a aflat țestoasa, ea deja nu mai e acolo, ci a mai mers puțin. Și tot așa. Paradoxul rămîne paradox pînă ne prindem că distanțele care îi rămîn lui Ahile de parcurs sînt din ce în ce mai mici și parcurgerea lor durează din ce în ce mai puțin, în așa fel încît durata totală a acelei infinități de intervale este de fapt finită și deci Ahile nu trebuie să alerge la infinit ca să prindă țestoasa.
Faptul că un număr se scrie cu mai multe cifre decît altul nu înseamnă neapărat că e mai mare. Un număr cu o infinitate de zecimale nu este infinit. Apropo de asta, un număr cu o infinitate de zecimale nu este neapărat nici irațional; de exemplu numărul 0,333333... are o infinitate de zecimale, dar este egal cu raportul 1/3, deci este rațional.
Copilul trebuie să înțeleagă că valoarea unei cifre într-un număr, adică importanța ei în mărimea numărului, depinde foarte mult de poziția cifrei în cadrul numărului. De exemplu numerele 0,752 și 0,367 conțin amîndouă cifra 7, dar în al doilea caz acest 7 exprimă o cantitate care este de 100 de ori mai mică decît în primul. În numărul 0,555555... valoarea cinciurilor nu este egală, ci scade rapid de la o poziție la alta.
La fel și cu √2. El se scrie zecimal sub forma 1,41421356..., dar contribuția cifrelor la mărimea numărului e foarte diferită în funcție de poziție și anume descrește rapid pe măsură ce mergem spre dreapta.
I-aș da copilului să facă un experiment: să măsoare cît e √2. De exemplu să deseneze cu creionul și rigla pe hîrtie un pătrat cu latura de 10 cm și să-i măsoare diagonala, ca să compare cu teoria. Va observa că poate citi pe riglă 14,1 cm, eventual încă o fracțiune de milimetru (dar nu va putea spune precis cît), iar restul de zecimale nu vor mai conta absolut deloc la ochi. Pot să urmeze o infinitate de zecimale, pot să urmeze și numai două, dar importanța lor în mărimea diagonalei este practic nulă. Astfel copilul va face o distincție foarte clară între importanța primelor cîteva cifre și a celorlalte.
Tema următoare ar fi să spună dacă numărul 0,999999... este exact egal cu 1 sau numai aproximativ.