Cum explic unui copil de clasa a 7-a

Question

ca desi √2 este un numar irational (pentru el nu se termina niciodata) ,ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu latura 1 este un segment (care pentru el are o lungime finita)?

Answer 1

Simplu, ipotenuza este finita insa nu putem cunoaste lungimea sa cu o precizie finita, ci doar aproximativa.

Comments

Aha,segmentul nu are exact √2 ci aproximativ.Adica sunt segmente care au masura lungimii cu precizie finita si segmente care au masura lungimii cu precizie aproximativa?.....I-am spus si vad la el nu privire, nu uitatura....parca putina cautatura.

---

Nu, segmentul are exact radical din 2, noi nu putem spune decat aproximativ, el nu e deloc aproximativ. Asa iese la calcule,  matematica e clara si fixa. Pot spune ca segmentul are lungimea radical din doi, sau pot spune ca e 1,.... si cu cat spun mai multe zecimale cu atat aproximez mai bine. Dar niciodata nu pot spune exact lungimea segmentului.

La fel se intampla la cerc cand intervine pi, la sinusuri si cosinusuri etc etc. Evident, se lucreaza cu aproximari.

---

Buna seara.Ce-nseamna clara si fixa (mai ales fixa)?

---

Probabil e numai o problemă de exprimare, dar în realitate cunoaștem lungimea ipotenuzei exact. Este √2. Că nu o putem scrie exact în notație ZECIMALĂ cu număr FINIT de cifre, asta e altă problemă. Dar de cunoscut o cunoaștem exact. O dovadă este, de exemplu, faptul că putem spune exact cît este pătratul lungimii diagonalei: e fix 2. Cunoașterea numerelor nu se limitează la capacitatea de a le scrie cifră cu cifră. La fel și numărul 1/3, pe care nu-l putem scrie în notație zecimală pînă la capăt, dar pe care îl cunoaștem exact. Dacă nu l-am cunoaște exact n-am putea spune că inversul lui este exact 3.

Answer 2

Întrebarea mi-a adus imediat în minte paradoxul cu Ahile și țestoasa: excelentul alergător Ahile nu va putea prinde niciodată din urmă înceata țestoasă, pentru că ori de cîte ori Ahile ajunge la locul unde s-a aflat țestoasa, ea deja nu mai e acolo, ci a mai mers puțin. Și tot așa. Paradoxul rămîne paradox pînă ne prindem că distanțele care îi rămîn lui Ahile de parcurs sînt din ce în ce mai mici și parcurgerea lor durează din ce în ce mai puțin, în așa fel încît durata totală a acelei infinități de intervale este de fapt finită și deci Ahile nu trebuie să alerge la infinit ca să prindă țestoasa.

Faptul că un număr se scrie cu mai multe cifre decît altul nu înseamnă neapărat că e mai mare. Un număr cu o infinitate de zecimale nu este infinit. Apropo de asta, un număr cu o infinitate de zecimale nu este neapărat nici irațional; de exemplu numărul 0,333333... are o infinitate de zecimale, dar este egal cu raportul 1/3, deci este rațional.

Copilul trebuie să înțeleagă că valoarea unei cifre într-un număr, adică importanța ei în mărimea numărului, depinde foarte mult de poziția cifrei în cadrul numărului. De exemplu numerele 0,752 și 0,367 conțin amîndouă cifra 7, dar în al doilea caz acest 7 exprimă o cantitate care este de 100 de ori mai mică decît în primul. În numărul 0,555555... valoarea cinciurilor nu este egală, ci scade rapid de la o poziție la alta.

La fel și cu √2. El se scrie zecimal sub forma 1,41421356..., dar contribuția cifrelor la mărimea numărului e foarte diferită în funcție de poziție și anume descrește rapid pe măsură ce mergem spre dreapta.

I-aș da copilului să facă un experiment: să măsoare cît e √2. De exemplu să deseneze cu creionul și rigla pe hîrtie un pătrat cu latura de 10 cm și să-i măsoare diagonala, ca să compare cu teoria. Va observa că poate citi pe riglă 14,1 cm, eventual încă o fracțiune de milimetru (dar nu va putea spune precis cît), iar restul de zecimale nu vor mai conta absolut deloc la ochi. Pot să urmeze o infinitate de zecimale, pot să urmeze și numai două, dar importanța lor în mărimea diagonalei este practic nulă. Astfel copilul va face o distincție foarte clară între importanța primelor cîteva cifre și a celorlalte.

Tema următoare ar fi să spună dacă numărul 0,999999... este exact egal cu 1 sau numai aproximativ.

Answer 3

Asa cum ii spune si numele, √2 e un numar irational.

Poti explica din pdv matematic ca intre 1 si 2 exista o alta infinitate de numere.

Fizic insa e mai greu. Poti explica faptul ca o particula o poti taia in doua si tot asa pana ajungi la atom. Dar si atomul e format din nucleu si altele, si putem merge asa pana la protoni, quarci, string-uri, iar pe masura ce stiinta va evolua vom putea imparti mai departe orice "distanta" cat de mica.

Si 0.0000000001 yoctometri vom ajunge candva sa-i facem mai mici. Pana cand, insa ...?

 

Poate ca matematicienii au gresit cand au inceput sa atribuie numere irationale marimilor fizice finite...

Comments

Ce nume are √2?

Întrebarea nu era despre infinita divizibilitate a numerelor dintr-un interval, ci despre scrierea cu o infinitate de zecimale a unui număr care  totuși este finit.