Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,305 intrebari

6,472 raspunsuri

15,032 comentarii

2,117 utilizatori

Inegalitate logaritmi

1 plus 0 minusuri
73 vizualizari

Aratati ca

 log_n(n+1)>log_{n+1}(n+2)    oricare  n natural, n>1.

De principiu accept orice demonstratie, dar as prefera una de nivelul clasei a 10-a.Personal am rezolvat problema la nivelul clasei a 10-a dar nu chiar integral  la nivelul clasei a 10-a.

a intrebat zec Experimentat (2,022 puncte) Nov 14 in categoria Matematica
Ma bucur foarte mult pentru ambele solutii,dar in special solutia lui Liviu care pare asa de naturala si simpla .Si solutia data de Gheorghita e frumoasa..

2 Raspunsuri

3 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Cunoscand ca

loga b * logb x = loga x ,
pentru b > a > 1 , (deoarece funcria logaritmica e strict crescatoare pentru baze > 1), vom avea
 loga x = loga b * logb x > loga a * logb x = logb x
Daca luam  a = n, b = n + 1 si  x = 1 + 1 / n  vom avea
logn (1 + 1 / n) > logn+1 (1 + 1 / n) > logn+1 [1 + 1 / (n+1)]

logn n + logn (1 + 1 / n) > logn+1  (n+1) + logn+1 [1 + 1 / (n+1)]
 logn [n*(1 + 1 / n)] > logn+1 [(n+1)*(1 + 1 / (n+1)]
 logn (n + 1) > logn + 1 (n + 2)

a raspuns Livia Felea Novice (310 puncte) Nov 15
selectat de zec Nov 15
3 plusuri 0 minusuri

O altă soluție ar fi: trecem logarimii în aceeași bază folosind faptul învățat la școală: \small log_{a}b\cdot log_{b}a=1 (caz particular pentru scrierea logaritmului în altă bază:   \small log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}, în cazul nostru: \small log_{n}(n+1)=\frac{1}{log_{n+1}n}Trebuie să arătăm :\small log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< 1{\color{DarkBlue} }. Folosim inegalitatea mediilor \small a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow (a+b)^{2}\geq 4ab

\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)\leq (log_{n+1}n+log_{n+1}(n+2))^{2}=(log_{n+1}n(n+2))^{2}

Am folosit proprietatea: loga+logb=log(ab).Deci:\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)\leq (log_{n+1}(n^{2}+2n))^{2}< (log_{n+1}(n^{2}+2n+1))^{2}\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< (log_{n+1}(n+1)^{2})^{2}=4(log_{n+1}(n+1))^{2}

Altă proprietate: logabm  = mlogab.\small 4log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)< 4\Rightarrow log_{n+1}n\cdot log_{n+1}(n+2)<1.

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (4,101 puncte) Nov 15

...