Bine aţi venit pe Scientia QA!
Pentru a putea publica întrebări şi răspunsuri, trebuie să vă înregistraţi.
Atenţie! Este posibil ca e-mailul de confirmare a înregistrării să intre în Spam.
  • Inregistrare
Pune o întrebare

Newsletter


3,290 intrebari

6,458 raspunsuri

15,021 comentarii

2,071 utilizatori

Inegalitate de numere reale

1 plus 0 minusuri
219 vizualizari

Problema este din recreatii matematice, autor Nicusor Zlota - Focsani.



Fie a, b, c, d numere reale pozitive astfel incat: 

abc+abd+acd+bdc = 4

Sa se arate ca 

(a^{12}-a^8+4)(b^{10}-b^6+4)(c^8-c^4+4)(d^6-d^2+4)\geq 256


Problema e dificila, vreau sa precizez ca nu am o solutie, dar am reusit destul de mult la ea. Sunt aproape de o solutie.

a intrebat zec Experimentat (1,966 puncte) Mai 17 in categoria Matematica

Consider ca am o solutie corecta acuma ,probabil ca exista si solutii mai simple.Solutia mea se bazeaza pe studiul monotoniei functiei

f=a^{x+4}-a^x

si metoda Sturm care studiaza variatia unei expresii cand valorile se apropie intre ele fiind conditionate de o suma sau produs ,astfel justificand valoarea minima sau maxima a expresiei in momentul egalitati variabilelor.

Am propus aceasta problema din cauza tendintelor actuale asupra inegalitatilor,foarte multe probleme sunt pe aceasta tema prezente in olimpiade si reviste.

1 Raspuns

5 plusuri 0 minusuri
 
Cel mai bun raspuns

Se folosesc următoarele inegalități:
- inegalitatea lui Holder: \tiny \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq (\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{q})^{\frac{1}{q}}, cu \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. Se va folosi această inegalitate pentru 4 factori nu doar 2.
- inegalitatea lui Cebâșev: \tiny \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\sum_{k=1}^{n}b_{k}
- una dintre inegalitățile lui Maclaurin (generalizare a inegalității mediilor):\tiny \tiny \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}

Ne pun dificultăți puterile amețitoare la care apar numerele a, b, c, d și faptul că aceste numere pot fi mai mici sau mai mari decât 1 (nu toate simultan). Pentru aplicarea unor inegalități cunoscute trebuie scriși într-un mod convenabil factorii produsului. Astfel: a12-a8+4 = a8(a4-1)+4 =(a8-1)(a4-1)+(a4-1)+4 = (a8-1)(a4-1)+a4+3. Am procedat așa pentru că produsul (a8-1)(a4-1) este pozitiv, indiferent dacă a \tiny \geq1 sau a\tiny \leq1 și așa putem spune că a12-a8+4 \tiny \geq a4+3. Facem la fel și cu ceilalți termeni și obținem inegalitatea (a12-a8+4)(b10-b6+4)(c8-c4+4)(d6-d2+4) \tiny \geq (a4+3)(b4+3)(c4+3)(d4+3). Acestă expresie ne sugerează aplicarea inegalității Holder: (a4+1+1+1)1/4(1+b4+1+1)1/4(1+1+c4+1)1/4(1+1+1+d4)1/4 \tiny \geq a+b+c+d, ridicăm la puterea a 4-a și obținem (a4+3)(b4+3)(c4+3)(d4+3) \tiny \geq (a+b+c+d)4. Dacă arătăm că (a+b+c+d)\tiny \geq 256 problema este rezolvată. Asta facem în continuare: (a+b+c+d)2 = a2+b2+c2+d2 +2(ab+ac+ad+bc+bd+da)    (1).
a2+b2+c2+d2= aa+bb+cc+dd \tiny \geq (a+b+c+d)(a+b+c+d)/4 =(a+b+c+d) 2/4 (am folosit inegalitatea Cebâșev).
\tiny \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}} = 1 \Rightarrow 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \geq 12(am folosit inegalitatea Maclaurin).
Revin la (1):\tiny (a+b+c+d)^{2} \geq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^{2} +12 \Rightarrow \frac{3}{4}(a+b+c+d)^{2} \geq 12 \Rightarrow (a+b+c+d)^{2} \geq 16 \Rightarrow (a+b+c+d)^{4} \geq 256 și inegalitatea inițială este demonstrată. 
Grea problemă, de altfel o variantă mai ușoară a fost dată la USAMO 2004.

Informații despre inegalitățile folosite:

https://brilliant.org/wiki/holders-inequality/
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_sum_inequality
https://en.wikipedia.org/wiki/Maclaurin%27s_inequality
 

a raspuns Gheorghiţa Experimentat (4,052 puncte) Mai 23
editat de Gheorghiţa Mai 24

Excelenta treaba!!!

La partea cu (a4+3)(b4+4)(c4+4)(d4+4) \tiny \geq 256 am ajuns si  eu aratand ca functia f(x)=ax+4-ae crescatoare cu ajutorul derivatei .Iar inegalitatea noua am folosit metoda Sturm.

Trebuie remarcat in conditia data ca a,b,c,d nu pot fi toate supraunitare sau subunitare deci avem in cazul in care nu sunt egale o valoare mai mica ca 1 si alta mai mare ca 1.Am studiat variatia lui  (a4+3)(b4+4) in conditiile in care ab=1 a<b adica sa avem pe a subunitar si b supraunitar .Daca consideram in locul lui a si b cu 2 noi valori mai apropiate de 1 adica cu a<a1<1 si 1<b1<b putem pune pe a1=axl unde l>1 si vom avea b1=b/l facand diferenta dintre

(a14+3)(b14+4)-(a4+3)(b4+4) dupa inlocuiri si calcule se arata imediat ca e negativa si concluzionam ca expresia descreste.Partea delicata este ca eu nu am produsul egal cu 1 dar daca eu inlocuiesc pe a cu un a1 mai apropiat de 1 iar b si c raman constanti atunci d va fi o valoare mai apropiata de 1 si putem presupune ca produsul lor e 1 ca limita.Am considerat a,b,c,d ca fiind ordonate crescator.Deci in concluzie cand valorile sunt egale cu 1 obtinem minim adica 256.

...