Pentru a vă înregistra, vă rugăm să trimiteți un email către administratorul site-ului.
Pune o întrebare

3.6k intrebari

6.8k raspunsuri

15.5k comentarii

2.5k utilizatori

4 plusuri 1 minus
7.4k vizualizari
Junior (928 puncte) in categoria Matematica

4 Raspunsuri

1 plus 1 minus
Presupun ca elevul de clasa a 6-a este familiarizat cu existenta numerelor negative, caz in care putem merge mai departe cu efectuarea de operatii. Nu i-as cere un efort de abstractizare prea mare daca i-as spune ca semnul pus in fata unui numar indica sensul spre care ne-am deplasa din punctul zero, pe o axa imaginara a numerelor, la dreapta daca numarul este exprimat ca +n, respectiv la stanga daca numarul este exprimat ca -n. De aici putem observa si ca +n si -n sunt situate simetric fata de zero, in pozitii opuse. Un minus pus in fata lui 3 arata pozitia situata la 3 m spre stanga. Un plus in fata lui 3 indica pozitia aflata la 3m dar in sens opus, spre dreapta. Semnul se poate asocia asadar cu sensul de deplasare, in acest caz existand doua sensuri opuse, unul spre stanga si altul spre dreapta. Retinem, deci, ca minus in fata unui numar schimba sensul de deplasare in cel opus. Acum, tehnic, nu ne ramane decat sa efectuam o inmultire, sa zicem (-3)*(-5).    

 Rezultatul este - - 15 (am pastrat cele 2 minusuri apartinand celor doua numere inmultite). Aplicand concluzia ca minus in fata unui numar schimba sensul de deplasare catre cel opus, observam ca minus in fata lui -15 conduce la deplasarea catre opusul lui -15, adica spre +15.

La vremea mea lucrurile au fost mai simple. Asta e regula semnelor, invatati-o ! Ca la regula culorilor semaforului.
Senior (6.6k puncte)
0 0
Explicatie ingenioasa si aproape lamuritoare. Dar ce fac cu --15?.
0 0
Ca sa fie mai lamuritor, voi nota - -15 in forma -(-15). Asa cum spuneam, minus in fata unui numar schimba sensul de deplasare catre simetricul dupa zero al acelui numar, respectiv, minus in fata lui (-15) ne conduce catre sensul opus lui -15, adica +15. Scrierea  - -15 se justifica pentru a arata ca rezultatul provine din inmultirea a doua numere negative. Problema daca sa-l cautam in stanga sau in dreapta este rezolvata. Il gasim mergand spre dreapta.
0 0
inteleg ca - nu inseamna normalul -1. -- nu se apropie mai degraba cu dubla negatie din logica?
0 0
vreau sa va comunic ca-mi place siteul dvs. foarte mult.Probabil ca o sa va si necajesc, o sa aberez,  dar un dialog nu urmareste un castigator ci Castigul (nu e de la mine)
0 0
Exact modelul dublei negatii l-am avut in vedere, dar am evitat sa-l invoc intr-o explicatie ce se vrea intuitiva pentru un elev de-a 6-a. Am recurs la sugestia unor sensuri opuse de mers , stanga- dreapta, ca intr-un joc de genul : avem doua numere, unde cautam produsul lor, la stanga sau la dreapta? Era la fel si cu inainte-inapoi, poate chiar mai simplu, copiii au o reprezentare mult mai riguroasa a lui inainte-inapoi decat a lui stanga-dreapta, din cate am observat. Introducerea lui -1 ar complica mai degraba explicatia, in opinia mea.
0 0
va multumesc
0 0
sunteti cam zgarciti cu votul intrebarilor
0 0
Mie explicația lui puiu nu mi se pare destul de intuitivă.
1 plus 1 minus
Mai întîi un mic preambul.

La orele de matematică regula asta se enunță și se memorează, pentru ca mai apoi elevii să constate că aplicînd-o cuminte nu ajung niciodată la paradoxuri (un paradox ar fi dacă aceeași expresie, calculată pe mai multe căi, ar da rezultate diferite).

În plus notația folosită azi este ambiguă (dar ambiguă într-un mod inofensiv, benign), pentru că același semn grafic este folosit și pentru a indica o calitate a unui număr, și pentru a indica o operație cu două numere. Același minus servește și la precizarea semnului și la operația de scădere. Ambiguitatea e acceptabilă pentru că dacă la scrierea unui număr negativ adăugăm un zero înainte de semn obținem o operație care duce la același rezultat: -5 = 0 - 5. Într-o lume perfectă numerele negative și operația de scădere probabil s-ar nota diferit. Ce vreau să spun e că nu trebuie ca explicația dată elevului să se bazeze pe convenția de scriere, ci pe o înțelegere intimă a noțiunilor.

Înmulțirea în care intervine un număr negativ (sau două) nu este intuitivă la început. Pentru a o face intuitivă trebuie să pornim de la ceva digerabil, cu care elevul este familiarizat. În orice caz înainte de explicația asta elevul trebuie să știe (să simtă) deja bine ce este un număr negativ și ce este înmulțirea, adică ce propietăți au ele și cum se operează cu ele. Abia apoi se poate trece la înmulțirea cu un număr negativ. Și abia apoi cu două.

Trecerea de la o etapă la alta nu se poate face automat. Eu aș porni de la o expresie ceva mai ușor digerabilă, de exemplu (5-7)*3, pe care încercăm să o calculăm mai întîi rezolvînd paranteza, (-2)*3, moment în care ne blocăm pentru că nu știm ce înseamnă înmulțirea cu un număr negativ. Apoi calculăm aceeași expresie (5-7)*3 distribuind termenii din paranteză: 5*3 - 7*3 = 15 - 21. De data asta rezultatul e intuitiv: -6. De aici deducem că (-2)*3 = -6, deci că regula trebuie să fie -*+ = -.

Abia după ce elevul s-a obișnuit cu regula asta, prin exerciții, și s-a convins că nu dă peste paradoxuri, putem trece la înmulțirea a două numere negative. Și de data asta aș porni tot de la o expresie, de exemplu (5-7)*(-1). Rezolvînd mai întîi paranteza (5-7) ajungem la (-2)*(-1), care deocamdată nu știm cît face. Dar o luăm și pe altă parte: distribuim termenii din paranteză și ajungem la -5 + 7, care știm că face +2. Astfel descoperim că (-2)*(-1) = +2, din care deducem că regula trebuie să fie -*- = +. O exersăm și pe asta pînă elevul se convinge că regula e bună.

De observat că asta nu e o demonstrație a regulii, ci un drum spre înțelegerea ei intuitivă de către elevi care înmulțesc pentru prima dată numere negative. Astfel de înmulțiri vor rămîne în continuare abstracte pînă cînd elevii ajung să înmulțească efectiv mărimi negative și să le iasă ceva pozitiv, de exemplu o tensiune negativă se înmulțește cu un curent negativ și iese o putere electrică pozitivă.
Expert (12.9k puncte)
0 0
Cand ati trecut la inmultirea a 2 numere negative ati pleca de laexemplul (5-7)*(-1), dupa care, rezolvand mai inatai paranteza ati ajuns la (-2)*(-1), "care deocamdata nu stim cat face". Distribuind termenii din paranteza ajungeti la -5+7, fara sa mentionati ca la acest rezultat se ajunge efectiv prin operatiunea (5-7)*(-1)=5*(-1)-7*(-1). Se ajunge astfel la expresia (-5)-(-7) pe care o formulati ca fiind echivalenta cu -5+2, desi nu ati explicat nicaieri copilului cum se scad doua numere negative, adica o noua regula a semnelor pentru adunarea si scaderea numerelor negative. Ambiguitatea privind semnul unui numar, care indica si o calitate si o operatie ramane, si ar fi interesant de vazut cat de digerabila este ea pentru un copil de a 6-a. In fond despre asta era problema. In plus, recurgeti si la distributivitate, ceea ce este o complicare a schemei. Nu sunt pedagog, dar mie mi se pare explicatia   dumneavoastra si mai neintuitiva decat a mea.
0 0
După cum am precizat clar, se poate trece la înmulțirea numerelor negative numai după ce elevul știe ce sînt numerele negative. Iar asta presupune automat adunarea și scăderea numerelor negative, pentru că numai așa se pot înțelege ele. Aici doar folosesc ceva cunoscut deja, n-am sărit peste nici un pas.

Distributivitatea este foarte ușor de explicat cu numere pozitive, deci cu exemple concrete și ușor de înțeles. Iarăși, după cum am precizat clar, elevul trebuie să știe deja bine ce este înmulțirea (cu numere pozitive), iar distributivitatea este o proprietate simplă a înmulțirii. Din nou, n-am sărit peste pași.

Nici eu nu sînt pedagog, dar am avut de mai multe ori de explicat lucruri din astea unor copii (nu tocmai isteți, că altfel n-ar fi avut nevoie de ajutorul meu). Ca urmare îmi dau repede seama ce e greu și ce e ușor de înțeles pentru copiii nu tocmai isteți.
0 0
In dem. apare totusi tot o inmultire de nr. negative.Cred ca tot dubla negare este mai usoara.
0 0
Un copil normal si, cu atat mai mullt unul "nu tocmai istet" se descurca mult mai usor in termenii unui sens de mers, stanga-dreapta sau inainte-inapoi, decat in cei abstracti pe care i-ati creionat.
0 0
Trabuk, la înmulțirea a două numere negative am folosit înmulțirea unui număr negativ cu unul pozitiv, pe care elevul a învățat-o deja. Am pus intenționat lucrurile în ordinea respectivă și nu degeaba am spus că numai după ce se exersează -*+ se poate trece la -*-.

Puiu, din păcate înmulțirea nu poate fi descrisă ca un mers, pentru că mersul e unidimensional, iar înmulțirea e bidimensională prin natura ei. Dumneavoastră înțelegeți deja intuitiv înmulțirea numerelor negative, ceea ce vă face să săriți peste pași cînd explicați. Vi se pare că ați dat o explicație ușoară, pentru că o înțelegeți dumneavoastră, dar trebuie să vă puneți în papucii celui care deocamdată nu știe. N-ați explicat cum au ajuns două semne minus în fața lui 15 și ce anume înseamnă ele (nu cu ce echivalează, ci ce înseamnă). Pentru un copil ăștia sînt pași săriți, neintuitivi. În plus vă bazați explicația pe o convenție grafică, nu pe înțelegerea noțiunilor. Înmulțirea numerelor negative poate fi la fel de inteligibilă și pentru un copil orb care nu știe cum se scriu numerele.

Dar, în fine, vorbim degeaba dacă nu ne și verificăm teoriile. Vă propun să vă folosiți metoda pe un copil care încă nu înțelege. Vă va spune el ce nu-i place.
0 0
Nu inmultirea am descris-o ca un mers, ci numerele negative si pozitive, un mers pe o axa a numerelor, intr-un sens din doua posibile. Apoi, inmultirea numerelor se face ca la numerele pozitive. Problema e sa gasim sensul corect pentru a afla rezultatul. Regula este: minusul din fata schimba sensul numarului care urmeaza. Dar aveti dreptate, ar trebui verificat pe doua esantioane de copii cu IQ comparabile.
1 plus 0 minusuri

Imagineaza-ti ca datorezi 2 lei prietenului tau cel mai bun. O vom nota -2, deoarece ea va scadea 2 lei din suma ta de bani de buzunar. Acum imagineaza-ti situatia neplacuta in care datorezi cate 2 lei tuturor celor 5 prieteni ai tai. Pentru a afla suma datorata totala, vom inmulti -2 cu 5. Deci -10. 

Acum imagineaza-ti ca nu tu esti dator amicilor tai, ci ei tie. Suma datorata e aceeasi: o notam -2. Intrucat se schimba sensul in care se vor deplasa banii (nu de la tine la ei, ci de la ei la tine), 5 va deveni -5 (calitatea pozitiva de a fi creditor a prietenilor tai se schimba in calitatea negativa de a fi dator). Deci va trebui sa calculam -2*(-5).

Dar sa gandim logic: cum va influenta stingerea tuturor datoriilor asupra buzunarului tau? Pai daca 5 prieteni iti dau cate 2 lei, vei avea 10 lei in plus fata de cati aveai inainte! Atunci  2*(-5)= +10 sau -*-=+ 

Novice (157 puncte)
0 0
Ați amestecat datoriile cu oamenii. Cînd treceți de la „tu le ești dator” la „ei îți sînt datori”, semnul trebuie schimbat la bani, nu la oameni, pentru că nu oamenii se schimbă, ci datoriile. Deci cei -2 lei devin +2 lei, iar oamenii sînt aceiași 5.
0 0
Desigur, a transforma minusul din fata lui 2 in plus e mai simplu si mai intuitiv, dar nu ne ajuta sa explicam copilului regula data. In schimb daca notam ORICE datorie ca negativa (indiferent daca e a copilului sau a prietenilor sai) si schimbam semnul numarului de prieteni deoarece si ei ”actioneaza” opus asupra buzunarului celui in cauza (dau in loc sa ia), obtinem cei doi factori negativi.
In final, exact asta am aratat: ca 2*5=-2*(-5)=10.
ps: am tastat in mod gresit 2 in loc de -2 pe ultimul rand, dar cred ca ati inteles.
0 0
Atunci explicația este forțată. Scopul nu e să iasă rezultatul cu orice preț, ci ca metoda pe care o folosim să fie rațională. Ca să vorbim de -5 prieteni trebuie ca 5 prieteni să plece sau să fie mai puțini decît înainte. Nu punem minusul doar ca să iasă calculul, ci pentru că are un realmente un înțeles acolo. Cînd se inversează sensul unei datorii ceea ce trebuie inversat este semnul sumei de bani.

Dar cred că ați pornit pe o direcție bună cu explicația. Partea grea în a explica produsul unor numere negative constă în faptul că în viața copiilor foarte puține mărimi se exprimă cu numere negative, iar ele foarte rar trebuie înmulțite. Dar ideea cu datoriile și cu prietenii e un început bun.
0 0
Poate gresesc, dar cred ca e in regula sa schimb semnul numarului de prieteni. Exact cum spuneati dvs., minusul este folosit atat pentru a indica o calitate a unui numar, cat si pentru a indica o operatia de scadere. In cazul cand pleaca 5 prieteni, este vorba de operatia propriu-zisa de scadere. Dar in cazul cu datoriile este vorba de schimbarea calitatii acelui numar: in loc sa indice creditori, el indica debitori.

Da, e destul de complicat sa-i explici unui copil aceasta regula. Eu tin minte ca in scoala nu ni s-a explicat nimic, doar ni s-a spus: daca inmultim doua numere cu acelasi semn, produsul va fi pozitiv, iar daca semnele factorilor sunt diferite, produsul va fi negativ. Ceea ce, la varsta cand totul trebuia sa aiba sens pentru a fi acceptat, intra in contradictie flagranta cu unicul lucru care mi se parea asemanator: faptul ca doi poli de acelasi semn se resping (lucru ”rau”, negativ), iar doi poli opusi se atrag (lucru ”bun”, pozitiv).
0 plusuri 0 minusuri
Am ajuns și eu la întrebarea aceasta destul de veche.

Combinând cumva toate ideile din celelalte răspunsuri, am putea aborda și astfel o posibilă explicație:

1. Presupunem înțeleasă ideea înmulțirii cu 0 a oricărui număr pozitiv, cât și conceptul de număr negativ care, însumat cu opusul său pozitiv, dă rezultatul 0. Deci am putea scrie ceva de genul 3*(4-4) = 0.

2. Dacă lămurim cumva și ideea de înmulțire cu 0 a unui număr negativ putem scrie și că (-3)*(4-4) = 0

3. Scăderea e, desigur, adunarea cu valoarea negativă corespunzătoare scăzătorului pozitiv (altă bătaie de cap ca explicație, desigur), deci (-3)[4+(-4)] = 0.

4. Se ajunge astfel la -12 + (-3)*(-4) = 0. De unde rezultă ceea ce vrem să explicăm.

Ceva prin zona asta, nu tocmai intuitiv, ci mai degrabă bazat pe o mulțime de alte ”victorii mai mici” mai ușor de explicat elevilor de vârste mici...
Senior (8.1k puncte)
1 0
-2*5 înseamnă datorie în valoare de 2 lei pentru fiecare din cei 5 prieteni, adică datoria mea de 10 lei, notată - 10.
-2*(-5) este datorie în valoare de 2 lei pentru fiecare din cei 5 prieteni de pe Pluto. Dar eu știu că n-am prieteni plutonieni, pot chiar să demonstrez că n-am avut contact cu vreun extrarestru de pe Pluto. Exclus să fiu datoare cu 10 lei nu știu căror plutonieni. Așadar 10 lei ai mei nu sunt datorie și notez, indiferent de zvonuri că - 2*(-5)=+10. Banii sunt ai mei și nu sunt datoare vreunui plutonian.
...